第二章 对称图形—圆1．如图，在半圆O 中，AB 为直径，半径OC ⊥OB ，弦AD 平分∠CAB ，连结CD 、OD ，以下四个结论：①AC ∥OD ；②OE CE =；③△ODE ∽△ADO ；④AB CE CD ⋅=22．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列说法中正确的是()n nA ． 平分弦的直径垂直于弦B ． 圆心角是圆周角的2倍C ． 三角形的外心到三角形各边的距离相等D ． 从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角3．3．已知⊙O 的半径r ＝3，设圆心O 到一条直线的距离为d ，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m ，给出下列命题：①若d ＞5，则m ＝0；②若d ＝5，则m ＝1；③若1＜d ＜5，则m ＝3；④若d ＝1，则m ＝2；⑤若d ＜1，则m ＝4.其中正确命题的个数是( )A ． 1B ． 2C ． 3D ． 54．如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 的切线CD 与AB 的延长线交于点D ，点C 为切点，联接AC ，若∠A＝26°，则∠D 的度数是（ ）A ． 26° B． 38° C． 42° D． 64°5．在⊙O 上作一条弦AB ，再作一条与弦AB 垂直的直径CD ，CD 与AB 交于点E ，则下列结论中不一．．定．正确是（ ）A．AE＝BE B．»AC＝»BC C．CE＝EO D．»AD＝»BD6．已知⊙O的半径长7cm，P为线段O A的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是（ )A．等于7cm B．等于14cm C．小于7cm D ．大于14cm7．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm8．如果圆锥的母线长为6cm，底面圆半径为3cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．9πcm2 B．18πcm2 C．27πcm2 D．36πcm29．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对10．矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．12π B．252π C．13π D．52π11．圆的半径为3 cm，它的内接正三角形的边长为_________cm.12．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是»AC的中点，则∠DAC的度数是．13．如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC 的周长为21，BC边的长为6，△ADE的周长为_____．14．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠ABO=30°，∠ADO=20°，则∠BAD=_____．15．一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为_____m.16．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为»BD的中点，则AC的长是．17．在Rt△ABC中，斜边AB=10，直角边AC=8，以C为圆心,r为半径，若要使⊙C与边AB只有一个公共点，则r的取值范围是______________________.18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C=110°，连接OB、OD，则∠BOD= ．19．若圆锥的底面半径为4，母线长为5，则它的侧面积为．20．如图10，两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB ＝_________．21．如图，AB 经过⊙O 上的点C ，且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 分别与OA 、OB 的交点D 、E 恰好是OA 、OB 的中点，EF 切⊙O 于点E ，交AB 于点F ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若∠A=30°，⊙O 的半径为2，求DF 的长．F E DC BA O22．如图，△ABC 中，E 是AC 上一点，且AE=AB ，∠EBC=12∠BAC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交EB 于点F ．（1）求证：BC 与⊙O 相切；（2）若AB=8，sin ∠EBC=14，求AC 的长．23．如图，在半径为3的扇形AOB 中，AOB ∠=90°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合）BC OD ⊥，AC OE ⊥，垂足分别为D 、E ．（1）当2BC =时，求线段OD 的长；（2）在DOE ∆中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设x BD =，DOE ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的范围．24．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，以边BC 为直径作⊙O ，交AB 于D ，DE 是⊙O 的切线，过点B 作DE 的垂线，垂足为E ．(1)求证∠ABC ＝∠ABE ；(2)求DE 的长．25．如图，OA ，OD 是⊙O 半径．过A 作⊙O 的切线，交∠AOD 的平分线于点C ，连接CD ，延长AO 交⊙O 于点E ，交CD 的延长线于点B ．(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线；(2)如果D 点是BC 的中点，⊙O 的半径为 3cm ，求DE u u u r 的长度．(结果保留π)26．如图，在中，为上一点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点,且.（1）求证：为的切线；（2）若， ,求的长.27．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=35，BC=8，CD=6，AD=5．（1）求BD；（2）试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上．如果在同一个圆上，写出圆心和半径，如果不在同一个圆上，说明理由．28．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．答案：1．B．试题分析：∵AB是半圆直径，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=∠DAO=12∠CAB，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，故①正确．由题意得，OD=R，AC=2R，∵OE：CE=OD：AC=22，∴OE≠CE，故②错误；∵∠OED=∠AOE+∠OAE=90°+22．5°=112．5°，∠AOD=90°+45°=135°，∴∠OED≠∠AOD，∴△ODE与△ADO不相似，故③错误；∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=12×45°=22．5°，∴∠COD=45°，∵AB是半圆直径，∴OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=67．5°∵∠CAD=∠ADO=22．5°，∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67．5°-22．5°=45°，∴△CED∽△CDO，∴CD CE CO CD，∴CD2=CO•CE=12 AB•CE，∴2CD2=CE•AB，故④正确．综上可得①④正确．故选B．2．D试题分析：选项A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以错误；选项B、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，所以错误；选项C、三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以错误；选项D、从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角是正确的．故选D．3．C试题分析：①若d＞5时，直线与圆相离，则m=0，正确；②若d=5时，直线与圆相切，则m=1，故正确；③若1＜d＜5，则m=3，正确；④若d=1时，直线与圆相交，则m=2正确；⑤若d＜1时，直线与圆相交，则m=2，故错误．故选C．4．B分析：连接OC，根据等腰三角形的性质得出∠COD的度数，根据切线的性质得出∠OCD的度数，最后根据三角形的内角和定理得出∠D的度数．详解：连接OC，∵OA=OC，∠A=26°，∴∠COD=26°×2=52°，∵C为切点，∴∠OCD=90°，∴∠D=90°－52°=38°，故选B．点拨：本题主要考查的是切线的性质，属于基础题型．解决这个问题的关键就是添加辅助线，将∠D 放入直角三角形中．5．C试题分析：根据垂径定理可得A、B、D三个选项都是正确的.6．B试题分析：先根据题意作出图形，再根据中点的性质即可求得结果.如图，OP=7cm，P为线段O A的中点，所以OA=14cm故选B.7．A试题分析：根据弧长公式L=，将n=75，L=2.5π，代入即可求得半径长．解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，由L=， ∴2.5π=， 解得：r=6，故选：A ．8．B解析：底面圆半径为3cm ，则底面周长=6π，圆锥的侧面积=×6π×6=18πcm 2．故选B ．9．D解析：因为在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦以及弦心距相等,本题中题设中缺少”同圆或等圆”这一条件,故选D.点拨:本题主要考查圆心角与弧,弦,弦心距之间的关系,解决本题的关键要熟练掌握圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系,并注意前提条件:”同圆或等圆中”.10．B分析：第一次旋转是以D 为圆心，BD 长为半径旋转90°；第二次旋转是以C 为圆心，BC 长为半径旋转90°，根据弧长计算公式得出答案．详解：∵AB=5，AD=12， ∴BD=2251213+=，∴90139012251801802πππ⨯⨯+=，故选B ． 点拨：本题主要考查的是弧长的计算公式，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是找出每次旋转的圆心、半径和旋转的角度．11．33试题解析：如图所示:在Rt BOD V 中, 3,30OB OBD =∠=o，33cos30.2BD OB ∴=⨯=o BD CD =Q ， 23 3.BC BD ∴==故它的内接正三角形的边长为3 3.故答案为： 3 3.12．35°．试题分析：连接BC ，∵AB 是半圆的直径，∴∠C=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，∵D 是»AC 的中点，∴∠DAC=12∠B=35°．故答案为：35°．13．9如图所示：∵△ABC 的周长为21，BC=6，∴AC+AB=21﹣6=15，设⊙I 与△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的切点为M 、N 、Q ，切DE 为P ，∵DM=DP ，BN=BM ，CN=CQ ，EQ=EP ，∴BM+CQ=BN+CN=BC=6，∴△ADE 的周长=AD+DE+AE=AD+AE+DP+PE=AD+DM+AE+EQ=AB ﹣BM+AC ﹣CQ=AC+AB ﹣（BM+CQ ）=15﹣6=9，故答案是：9．14．50°试题解析：连接OA，∵∴∴故答案为：50°．15．分析：根据平行四边形的判定(①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边详解：如图，连接BD，则∠ADB＝45°，∠ABD＝90°，因为AB＝100，则BD＝100，由勾股定理得AD＝.故答案为.点拨：本题主要考查了圆周角定理的勾股定理，注意理解半圆(或直径)所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.8316试题分析：∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=120°，∴∠BCD=180°-60°=120°，∵∠BAD=60°，AC 平分∠BAD ，∴∠CAD=∠CAB =30°，如图1，将△ACD 绕点C 逆时针旋转120°得△CBE ，则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE ，∴∠ABC+∠EBC=（180°-CAB+∠ACB ）+（180°-∠E-∠BCE ）=180°，∴A 、B 、E 三点共线，过C 作CM ⊥AE 于M ，∵AC=CE ，∴AM=EM=12×（5+3）=4，在Rt △AMC 中，AC=30AM cos ︒=432=833．故答案为：833． 17．r=4.8或6＜r≤8解：如图，∵斜边AB=10，直角边AC=8，∴BC=221086-=.当圆和斜边相切时,则半径即是斜边上的高,r=CD=68=4.810⨯； 当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则6<r ⩽8.故答案为：r=4.8或6<r ⩽8.18.140°．试题分析：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BCD=110°，∴∠A=180°﹣∠BCD=180°﹣110°=70°，故∠BOD=2∠A=2×70°=140°．故答案为：140°．19．20π试题分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解，圆锥的侧面积=2π×4×5÷2=20π．20．60°.解析：连接OO′和O′A，根据切线的性质，得O′A⊥O A，根据题意得OO′=2O′A，则∠AOO′=30°，再根据切线长定理得∠AOB=2∠AOO′=60°．故答案是：60°．21．（1）证明见解析；（22213.试题分析：（1）利用等腰三角形的性质以及切线的判定进而得出即可.（2）利用等腰三角形的性质得出∠FOE=∠B=30°，进而得出FO的长，再利用勾股定理得出DF的长即可．试题解析：（1）如图，连接CO，∵AO=BO，CA=CB，∴CO⊥AB.∵CO为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线.（2）如图，连接FO，∵OA=OB，∠A=30°，OC⊥AB，CO=2，∴AO=4，∠B=30°.∵⊙O分别与OA、OB的交点D、E恰好是OA、OB的中点，EF切⊙O于点E，∴FE⊥BO，OE=BE=2. ∴FO=FB. ∴∠FOE=∠B=30°.∴EO23cos FOEFO FO2∠===，解得：433=.∵∠A=∠B=∠BOF=30°，∴∠AOF=90°.∴222243221DF DO FO233⎛⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭.22．（1）证明见解析（2）647试题分析：（1）首先连接AF，由AB为直径，根据圆周角定理，可得∠AFB=90°，又由AE=AB，∠EBC=∠BAC，根据等腰三角形的性质，可得∠BAF=∠EBC，继而证得BC与⊙O相切；（2）首先过E作EG⊥BC于点G，由三角函数的性质，可求得BF的长，易证得△CEG∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．试题解析：（1）连接AF．∵AB为直径，∴∠AFB=90°．∵AE=AB，∴△ABE为等腰三角形．∴∠BAF=12∠BAC．∵∠EBC=12∠BAC，∴∠BAF=∠EBC，∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°．∴∠ABC=90°．即AB⊥BC，∴BC与⊙O相切．（2）过E作EG⊥BC于点G，∵∠BAF=∠EBC，∴sin∠BAF=sin∠EBC=1 4．在△AFB中，∠AFB=90°，∵AB=8，∴BF=AB•sin∠BAF=8×14=2，∴BE=2BF=4．在△EGB中，∠EGB=90°，∴EG=BE•sin∠EBC=4×14=1，∵EG⊥BC，AB⊥BC，∴EG∥AB，∴△CEG∽△CAB，∴CE EG CA AB=．∴188 CECE=+，∴CE=8 7，∴AC=AE+CE=8+87=647．23．（1）22 （2）存在。