180
A
°
所以圆是中心对称图形，对称中心是圆心
问题4：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 仍与原来的圆重合吗？
·
性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与 原来的圆重合．（圆具有旋转不变性）
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
பைடு நூலகம்
A O·
B
∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB所对的弦为AB， 所对的弧为A⌒B.
27.1 .2 圆的对称性
情境导入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
获取新知
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ 问题2 你是怎么得出结论的？ 用折叠的方法
圆的对称性1：
●O
圆是轴对称图形，其对
称轴是直径所在的直线
问题3：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与 原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
弦 相等
27.1.2 圆的对称性 第2课时 垂径定理
情景导入
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
获取新知
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂
足为P.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
C
垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
?
D
用几何语言表述为：
O
∵ CD是直径，AP=BP，(条件)
P
∴ AB⊥CD，AC⌒=B⌒C，A⌒D =B⌒D.(结论) A C B
垂径定理的本质是:
（1）一条直线过圆心
知 二
（2）这条直线垂直于弦
得 （3）这条直线平分不是直径的弦
D
其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关
O
系？说一说你的理由.
P
A
B
C
（1）此图是轴对称图形，对称轴是
直径CD所在的直线
D
（2）AP=BP， A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
O
P
A
B
C
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，
垂足为P. 求证：AP=BP， A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与C⌒D 的关系是（ A ） A. A⌒B=2⌒CD B. A⌒B>C⌒D C. A⌒B<C⌒D D. 不能确定
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角
弦、弧、圆心 角的关系定理
应用提醒
在同圆或等圆中 圆心角 相等
①要注意前提条件； ②要灵活转化.
弧 相等
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
ED
解：∵ BC=CD=DE，
C
BOC COD DOE=35 ，
A
· O
B
75 .
随堂演练
1．如果两个圆心角相等，那么
D（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 ° .
FB
C
ED
O· A
·O'
通过平移和旋转将两个等圆变成同圆
题设
结论
在 同
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等
圆 或 如果弧相等 等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等
圆 中 如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
例题讲解
例1 如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE，
在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，A⌒B与C⌒D，
弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
由圆的旋转不变性，我们发现： D
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
C B
· OA
那么，A⌒B=C⌒D，弦AB=弦CD
在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
D
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
O
∴AP=BP，∠AOC=∠BOC.
从而∠AOD=∠BOD. ∴A⌒D =B⌒D A⌒C =B⌒C.
P
A
B
C
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
用几何语言表述为：
D
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
O
∴ AM=BM，AC⌒=B⌒C,A⌒D =B⌒D.(结论)
P
A
B
C
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分 AB的直径CD， 交AB于点M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什
D
么？ 是，对称轴是直径CD所在的直线
（2）你能发现图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由.
CD⊥AB，A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足
为D，与弧AB交于点C，则D是AB
的中点，C是弧AB的中点，CD就
A
是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
C
D
B
O
∵ OA2 AD2 OD2 R2=18.52+(R-7.23)2
A
解得R≈27.3（m）.
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2,
R2 3002 R 902 . 解得R=545.
C E
F
●O
D
∴这段弯路的半径约为545m.
随堂演练
三 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
例题讲解
例1 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解：如图，用AB表示主桥拱，设
AB所在圆的圆心为O，半径为R.
O
P
A
B
C
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AP=BP. （1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）A⌒C与B⌒C相等吗？ A⌒D与B⌒D相等吗？为什么？D
解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
O
∴∠AEO=∠BEO=90°，
P
∴CD⊥AB.
A
B
（2）由垂径定理可得A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
即主桥拱半径约为27.3m.
C
D
B
O
例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O
是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且
OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
OE CD, CF 1 CD 1 600 300(m).