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圆锥曲线的定义尽管简单，但很重要，是推导标准方程和研究几何性质的基础和根源。

高考常常涉及，2008高考试题中有七套考察了定义。

回归定义和有意识
利用定义是高三学生需要加强的一个意识。

把握圆锥曲线的定义从两个方面入手即可：定义表达式和限制条件。

现归纳
1.求曲线的轨迹，即定义法。

2.涉及椭圆和双曲线上的点和两个焦点的“焦点三角形”问题，常利用定义表达式结合余弦定理解决。

3.研究曲线上的点和定点间距离的最值问题（和抛物线的焦点弦问题）。

这里分别讲述：
一．椭圆的定义及应用 1.定义的把握：
题组训练：⑴.若动点M （x,y ）到定点F1（-4，0）和F2（4，0）的距离的和为10，则动点M 的轨迹为（ ）
A.椭圆
B.双曲线
C.线段
D.无图形
⑵.若动点M （x,y ）到定点F1（-4，0）和F2（4，0）的距离的和为
8，则动点M 的轨迹是 。

⑶.若动点M （x,y ）到定点F1（-4，0）和F2（4，0）的距离 的和为
6，则动点M 的轨迹是 。

⑷.方程()104)4(x 2222=-++++y x y ，表示的曲线是
答案： ⑴. A ⑵. 线段21F F
⑶.不存在
⑷.焦点为F1（0，-4），F2（0，4），长轴长为10的椭圆
2.定义的应用
例1.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？ 解答：连接AQ ，QO+QP=QO+QA>AO ,所以点Q 的轨迹是
以A 和O 为焦点半径r 为长轴长的椭圆。

例2.M 是椭圆14
92
2=+y x 上的任意一点，F 1、F 2是椭圆的左右焦点，21MF MF ⨯则的最大值是 . 分析：621=+MF MF Θ,
21MF MF ⨯≤2
212⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+MF MF =9 ∴答案是9
二．双曲线的定义及应用
1.定义的把握： 题组训练 ⑴. 方程
()()855x 2
22
2=+--
++y x y 的表示的曲线是
⑵. 若动点M （x,y ）到定点F1（-5，0）和F2（5，0）的距离的差为6，则动点M 的轨迹为（ ）
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.一条射线
D.无图形 ⑶. 方程
()()12552
22
2=+--
++y x y x 表示的曲线是 。

⑷. 方程()()844x 2
22
2±=-+-++y x y 表示的曲线是 答案：
⑴. 焦点为F1（-5，0），F2（5，0），实轴长为8的双曲线 ⑵. B ⑶.不存在
⑷.以（0，4）或（0，-4）为端点，沿着y 轴正向或负向的一条射线 2.定义的应用
例1.（2008·山东卷·(10)）设椭圆C 1的离心率为13
5
，焦点在X 轴上且长轴
长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）
（A ）13422
22=-y x (B)15132222=-y x
(C)14
322
22=-y x (D)112132222=-y x
解析：由题意可以求出双曲线的焦距是10，实轴长是8，根据双曲线定义可求得
方程，选A
例2. (2008·湖北卷·19). 如图，在以点O 为圆心，
||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=︒，
曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P . （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）（略）
解：（Ⅰ）以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得
｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜
＝4.
∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.
∴曲线C 的方程为12
22
2=-y x . （Ⅱ）（略）
三．抛物线的定义及应用 1.定义的把握： 题组训练
⑴.若动点M （x,y)与定点F(2,0)和定直线l:x+2=0的距离相等，则M 点的轨迹为（ ）
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.直线
⑵. 若动点M （x,y)与定点F(2,0)比它到定直线l: x+4=0的距离小2，则M
点的轨迹是
⑶. 若动点M （x,y)与定点F(2,3)和定直线l: x+y-5=0的距离相等，则M 点
的轨迹是 答案：⑴.C
⑵.以F 为焦点，直线 x+2=0为准线的抛物线 ⑶.过F （2，3）且与直线x+y-2=0垂直的直线 2.定义的应用
例1.已知动圆A 和圆C ：(x-3)2+y2=1外切，且和定直线x=-２相切，求动圆圆心A 的轨迹方程。

解：设动圆Ａ的半径为Ｒ，则 ｜AC ｜=Ｒ+｜PC ｜,
动圆A 和定直线x=-２相切, R=|AQ|,
将直线左移一个单位，得直线x=-3
_y
_x
_ P _o
_ A
_ B
_ C _ Q
易知｜AR ｜＝｜AQ ｜＋｜QR ｜＝Ｒ+｜PC ｜=｜AC ｜
所以圆心Ａ的轨迹为以Ｃ为焦点，直线RD 为准线的抛物线，轨迹方程为：
x 12y 2=
例2.
已知定点M （3，2），F 是抛物线y2=2x 的焦点，在此抛物线上求一点P ，使|PM|+|PF|取得最小值，求点P 的坐标 分析：
如图，由抛物线的定义：
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。

即|PF| = |PN|
∴ |PM|+|PF|= |PM|+|PN|
∴当 M 、P 、N 三点共线时距离之和最小。

跟踪练习：
1.（2008·浙江卷·20）（本题15分）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线8
5
-
=y 距离相等的点的轨迹。

λ是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在λ上）
的动点；A 、B 在λ上，x MB MA ⊥⊥,λ轴（如图）。

（Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）（略） 解：（Ⅰ）设()N x y ，为C 上的点，则
2
2
13||28NP x y ⎛
⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
N 到直线5
8
y =-的距离为58y +．
22
135288x y y ⎛
⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭．
化简，得曲线C 的方程为2
1()2
y x x =+． （Ⅱ）（略）
2．已知动圆A 和圆B ：(x+3)2 +y 2=81内切，并和圆C ：(x-3)2 +y 2=1外切，求
动圆圆心A 的轨迹方程。

解：设动圆Ａ的半径为Ｒ，则
动圆A 和圆B 内切，所以｜AB ｜=｜PB ｜－R,
动圆A 和圆C 外切,所以 ｜AC ｜=｜CQ ｜+R ， 所以｜AB ｜＋ ｜AC ｜
＝｜PB ｜＋｜CQ ｜=9+1=10
由椭圆定义知，动圆圆心A 的轨迹为Ｂ，Ｃ为焦点的椭圆，方程为： 3.已知动圆A 和圆B ：(x+3)2+y2=9及
圆C ：(x-3)2+y2=1都内切，求动圆圆心A 的轨迹方程。

解：设动圆Ａ的半径为Ｒ，则
动圆A 和圆B 内切，所以｜AB ｜=Ｒ－｜PB ｜, 动圆A 和圆C 外切,所以 ｜AC ｜=Ｒ－｜CQ ｜， 所以｜AC ｜－｜AB ｜ ＝｜PB ｜－｜CQ ｜ =３－1=２
由双曲线定义知，动圆圆心A 的轨迹为Ｂ，Ｃ为焦点的双曲线的一支，方程为：
()118
22
-≤=+x y x。