X ~ N(300,169).
……(4 分)
故所求概率为
P280
X
320
P
280 300 169
X
300 169
320 300
169
P
20 13
X
300 13
20
13
(1.54) (1.54)
= 0.8764
……(6 分)
6、设总体
X
的概率密度为
f
(x)
(
1) x
,
0,
0 x 其他
1
，其中，
1
是未知参
数，( X1, X 2 ,, X n ) 是来自总体 X 的容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法 和极大似然估计法求 的估计量.
解：(1) 总体 X 的数学期望是
E(X )
xf (x)dx
1 x( 1)x dx 1
0
2
设
X
1 n
n i 1
0.15625
5. 32
……(3 分)
3、某箱装有 200 件产品，其中有一、二、三等品分别为 160 件、20 件和 20 件，现
从中随机抽取一件，记
Xi
1, 0,
抽到 i 等品，i =1,2,3.试求：(1) 其他
随机变量 X1
与
X3 的联合分布律；(2) X1 与 X3 的相关系数 X1X3 ；(3) D( X1 2 X 3 ).
概率论练习卷
得分
一、选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．假设 A、B 为两个互斥事件，且 P(B)≠0，则下列关系中，不一定正确的是
．
A． P(A | B) 0
B． P(A B) P(A) P(B)
C． P(AB) 0
D． P(A) 1 P(B)
2．设随机变量 X 服从泊松分布，且已知 P(X 1) P(X 2), 则 P(X 4)
n
/ n
得分
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
D． X ~ N (0,1) /n
1.从 52 张扑克牌中任取 4 张，出现同花的概率为
．
2.已知离散型随机变量
X
的分布律为 PX
k
t 2k
,k
0,1, 2 ，则 t
．
x, 0 x 1,
3. 已 知 连 续 型 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 函 数 为 p(x) 2 x, 1 x 2, 则
(2) 若已知某家庭在今后五年内有购置高级小轿车意向，求该家庭月人均收入在 1至3万元的概率.（注：Φ(1.25) =0.8944）
1 x, 2、设随机变量X 的密度函数为 p(x) 1 x,
0,
1 x 0 0 x 1 ，试求：(1) 随机变 其他
量Y X 的概率密度函数；(2) 对随机变量Y 观测三次，求三次观测中事件
得分
1、据市场调查显示，月人均收入低于 1 万元，1 至 3 万元，以及高
于 3 万元的家庭在今后五年内有购置家用高级小轿车意向的概率分别为 0.1，
0.2 和 0.7.假定今后五年内家庭月人均收入 X 服从正态分布 N (2, 0.82 ).试
求：
(1) 求今后五年内家庭有购置高级小轿车意向的概率；
0.16 0.36 0.32 0.84.
……(3 分)
4、二维随机变量
(
X
,Y
)的联合概率密度函数为 Nhomakorabeap(x,
y)
cxy, 0,
0 y x 1 ，试 其他
求: (1) 参数 c；(2) 关于 X 与Y 的边缘概率密度函数，并讨论 X 与Y 是否独立？
(3) P{X Y 1}.
解：(1)
……(3分)
(2) 由贝叶斯公式得
P( A2
|
B)
P(B
| A2 )P( A2 ) P(B)
0.7888 0.2 0.24224
0.65
……(3分)
1 x, 2、设随机变量X 的密度函数为 p(x) 1 x,
0,
1 x 0 0 x 1 ，试求：(1) 随机变 其他
量Y X 的概率密度函数；(2) 对随机变量Y 观测三次，求三次观测中事件
由规范性可得
1
dy
1cxydx 1，故 c
=8
0
y
(2)
pX (x)
p(x,
y)dy
x
8xydy,
0
0
x
1
4
x3
,
0,
其他 0,
同理
0 x 1 其他
……(3 分) ……(3 分)
pY ( y)
p(
x,
y)dx
1
8xydx,
y
0,
0
y
1
4(
y
y3 ),
其他 0,
0 y 1 ……(3 分) 其他
0.1，0.2 和 0.7. 假定今后五年内家庭月人均收入 X 万元服从正态分布 N (2, 0.82 ). 试求： (1) 今后五年内家庭有购置高级小轿车意向的概率； (2) 若已知某家庭在今后五年内有购置高级小轿车意向，求该家庭月人均收入在
1至3万元的概率.（注：Φ(1.25) =0.8944） 解：记 A1 {X 1}, A2 {1 X 3}, A3 {X 3},
解：令第 i 次轰炸命中目标的炸弹数 Xi，则 E( Xi ) 3, D( Xi ) 1.69,
100
100 次轰炸中命中目标的炸弹数为 X Xi ，由独立同分布中心极限定理知， i 1
X 近似服从期望为100E( Xi ) 100 3 300 ，方差为100D( Xi ) 1001.69 169 的 正态分布，即
5． A
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1． C41C143 C542
44 4165
2． 4 7
3． 7 8
4．1
5． 1 3
三、计算题（1、2、5 和 6 每题 10 分，3 和 4 每题 15 分，共 70 分）
1、 据市场调查显示，月人均收入低于1万元，1至3万元，以及高于3万元的家庭 在今后五年内有购置家用高级小轿车意向的概率分别为
p( y)
2(1 0,
y),
0 y 1 其他
(2) P{Y 0.5} F(0.5) 0.75, 且Y ~ B(3,0.75),
……(2 分) ……(2 分)
设A为“在随机变量Y 观测三次中，事件{Y 0.5}最多出现一次”，则
P( A)
C30 0.7500.253
C31 0.7510.252
0,
其它.
P{X 1.5}
．
4. 设
X1, X2, X3
相互独立且同服从参数为
3 3
的指数分布，令
Y
1 3
( X1
X2
X3)
，则
D(Y )
．
5.设随机变量 X 服从区间 [2,4] 上的均匀分布，则应用切比雪夫不等式估计得
P{| X 3|1}
．
三、计算题（1、2、5 和 6 每题 10 分，3 和 4 每题 15 分，共 70 分）
Xi
为样本均值，令 1 2
X
，参数
的矩估计量为
ˆ 2X 1 1 X
……(5 分)
(2) 设 x1, x2, , xn 为相应于样本 X1, X 2 , , X n 的样本值，则似然函数为
L( )
(
1)n
n i 1
xi
,
0 xi 1 (i 1, 2,
, n)
0,
其他
当 0 xi 1 (i 1, 2, , n) 时， L( ) 0 ，且
1 1.25
0.1056
……(4分)
另一方面，由题设知 P(B | A1) 0.1, P(B | A2 ) 0.2, P(B | A3 ) 0.7
(1) 由全概率公式得
3
P(B) P(B | Ai )P(Ai ) i 1 0.1056 0.1 0.7888 0.2 0.1056 0.7 0.24224
n
ln L( ) n ln( 1) ln xi ，
i 1
d
ln L( ) d
n 1
n i 1
ln
xi
，
令 d ln L( ) 0 ，解得 d
1 n n
ln xi
i 1
从而，得 的最大似然估计量为
ˆ 1 n n
ln Xi
i 1
……(5 分)
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分 来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
6、设总体
X
的概率密度为
f
(x)
(
1) x
,
0,
0 x 其他
1
，其中，
1
是未知参
数，( X1, X 2 ,, X n ) 是来自总体 X 的容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法 和极大似然估计法求 的估计量.
参考答案
一、选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1． D
2． B
3． C
4． D
解：(1) 由题设知
X1
X3 0
1
0
0.1 0.1
1
0.8 0
(2) 由(1)可得
E( X1) 0.8, E( X3) 0.1, E( X1X3) 0
……(5 分)
D( X1) 0.8 0.2 (0.8 0.2) 0.16, D( X3) 0.1 0.9 (0.9 0.1) 0.09
{Y 0.5}最多出现一次的概率.