1.全概率公式 贝叶斯公式1.某保险公司把被保险人分成三类：“谨慎的”、“一般的”和“冒失的”。

统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.3。

并且它们分别占投保总人数的20%，50%和30%。

现已知某保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”保险户的概率是多少？解：设A i 、A 2、A 3分别表示“谨慎的” “一般的”和“冒失的”保险户，B 表示“发生事故”，由贝叶斯公式知057.030.03.015.05.005.02.005.02.0)|()()|()()|()()|()()|(332211111≈⨯+⨯+⨯⨯=++=A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P2.老师在出考题时, 平时练习过的题目占60%. 学生答卷时, 平时练习过的题目在考试时答对的概率为90% , 平时没练习过的题目在考试时答对的概率为30%, 求:(1) 考生在考试中答对第一道题的概率;(2)若考生将第一题答对了, 那么这题是平时没有练习过的概率.3. 在蔬菜运输中，某汽车运输公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次为0.2,0.5,0.3。

在三地拉到一级菜的概率分别为10%，30%，70%。

1）求能拉到一级菜的概率；2）已知拉到一级菜，求是从乙地拉来的概率。

解：1、 解：设事件A 表示拉到一级菜，1B 表示从甲地拉到，2B 表示从乙地拉到， 3B 表示从丙地拉到则1()0.2P B =，2()0.5P B =；3()0.3P B = 1()0.1P A B =，2()0.3P A B =,3()0.7P A B =则由全概率公式得31()()(/)i i i P A P B P A B ==⋅∑=0.20.10.50.30.30.70.38⨯+⨯+⨯=—（7分）(2)拉的一级菜是从乙地拉得的概率为222()()0.50.3()0.3947()0.38P B P A B P B A P A ⋅⨯===—————————（10分）2.一维随机变量5.设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布，求随机变量2X Y=e 的密度函数.6.).1,0(~-X Y ),,N(~X 2N σμ=σμ用分布函数法证明：已知证明: 设b aX Y x f X x +=),(~, 则0≠a 时,Y~)(y fY =a1)(a by Y f -{}{})1,0(~212)()()()()()(22)(222N Y e e y f y F y F y f y F y X P y X y Y P y F y y X X Y Y X Y ∴π=σπσ=σμ+σ=μ+σ'='=μ+σ=μ+σ≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σμ-=≤=-σμ-μ+σ-7.设随机7.变量X 的密度函数1()01xf xx<=≥⎩求（1）c的值；（2）1{}2P X≤；（3）EX (4)X的分布函数.解：(1)由密度函数的性质1∞∞=⎰+-f(x)dx得：1∞∞∞∞===⎰⎰⎰++1--f(x)dx故c=1π--------------------------------（4分）(2)11212111{}sin|23P X arc xπ-≤===⎰---------- （7分）(3)EX=0dx∞∞∞∞===⎰⎰⎰++1--xf(x)dx---（10分）8.设连续型随机变量X的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111)(xxxAxxF，求:(1)系数A; (2)X的分布密度f(x); (3){}25.0XP≤≤解： (1)A=1;(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它1x21)(xxf;(3)0.53.二维随机变量10.设（X，Y）的分布为证明X与证明：cov（X，Y）=EXY-EXEY --------（1分）而EXY=0EX=0，EY=0--------------（3分）XYρ==故X与Y不相关。

--------（5分）下证独立性{0,0}0P X Y ==={0}1/4P X ==P{Y=0}=1/4-------（8分） {0,0}{0}{0}P X Y P X P Y ==≠=•=故X 与Y 也不独立。

----------------（10分） 11.(X,Y)服从区域D 上的均匀分布,22{(,)4}=+≤D x y x y ，证明X 与Y 不独立也不相关.12.设随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，其中D={(x,y)|x 2+y 2≤1},求：（1）X 与Y 的边缘密度函数；（2）判断X 与Y 是否独立。

解：(1) f X(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤π-其它 01 12x x ，f Y(y)=⎪⎩⎪⎨⎧≤π-其它01 12y y(2) X 与Y 不独立。

4.中心极限定理13.某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，各机床开关独立，开动时每部要耗电15个单位，问至少要供应该车间多少单位电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.(Φ(1.64)=0.95,42≈6.48).解：X 用表示任一时刻车间有同型号机床，则~(200,0.7)X B ，则140EX =,42DX =——（3分）假定至少需要m 单位电能，则有：()0.9515m P X ≤=由中心极限定理可得：1401400.95()15m m m P X P --=≤=≤≈Φ———（8分）1401.64m-=， 所以2265m = ，故至少需准备2265单位电能—————（10分）14.某学院校园网中家属区每晚约有400台电脑开机, 而每台电脑约有54的时间登入互联网, 并且假定各台电脑是否上互联网彼此无关, 计算其中至少300台同时在互联网上的概率. (Φ(2.5)=0.99379)15.某计算机有120个终端，每个终端在一小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否相互独立，求至少有10个终端同时使用打印机的概率。

(Φ(1.68)=0.95352,7.5≈2.3874)解：每个终端使用打印机的概率为p=1/20，设同时有X 个终端使用，则X ～B(120,1/20)，EX=np=6，DX=npq=5.7， 由于n=120很大，由中心极限定理，近似地X ～N(6,5.7) ∴P(X ≥10)=1-F(10)=1-Φ(7.5610-)=1-Φ(1.68)=1-0.95352=0.0464816.某种电子元件的寿命服从指数分布，已知其平均寿命为100小时，将3 个这样的元件串联在一个线路中，求：在150小时后线路仍正常工作的概率。

解：由题可知0.01λ=-----------（2分）则某电子元件的寿命超过150小时的概率为1.5{150}1(150)p P X F e -=>=-=-----------（8分）故三个串联150小时仍正常的概率为3 4.5p e -= -------- （10分）5.极大似然估计17.设总体X 的密度函数为=);(θx f ⎪⎩⎪⎨⎧>-其它01x exθθ (0>θ),若),,,(21n X X X ⋅⋅⋅为来自总体的一个样本, 求未知参数θ的最大似然估计值.18.设总体X 的分布密度为⎩⎨⎧>θ<<θ=-θ其他,10)(1x x x f ，若X X X n 12，，， 为来自总体的一个样本,求未知参数θ的最大似然估计。

解：似然函数L(X 1, X 2,… X n ,)=11-θ=θ∏ini xlnL=nlnθ+ln(θ-1)∑=ni iX 1ln ，由0ln =θd Ld解得所求最大似然估计量∑=-=θni iXn1ln ˆ19.设X X X n12，，， 为总体X的一个样本，且X的概率分布为,3,2,1,)1(}{1=-==-k p p k X P k ,12n x x x ，，，为来自总体X 的一个样本观察值，求p 的极大似然估计值.证明：（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

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