证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。

3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。

4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。

此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。

参考例4、例5、例6。

例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和AC 为边向形外作的正方形。

求证：FH=2AD/ BAC+ / ACN=180证明：延长AD 至N 使AD=DN则ABNC 是平行四边形CN=AB=FA AC=AH又/ FAH+ / BAC=180 •••△ FAHY NCA ••• FH=AN例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C ,AD 是高，M 是BC 边上的中点。

$•••1求证：DM=2 AB/ 2=Z B •••/ 2=2Z 1•••/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND • DM=2 A B1贝J BFAC••• BF=AE•••△ AEC 心 BFD •DF 二CE 二 CD=2CE作业:1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1线交AC 于F ,求证：AF=2 FC2、AB 和AC 分别切© O 于B 和C, BD 是直径。

求证/ BAC 二Z CBD3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。

求证：BD=2CE例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E ,证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN贝J MN // AC / 1 = / C••• DM=DN例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。

求证：CD=2CE证明：过B 作CD 的中线BFV AB=AC , E 是AB 的中点又 DB=ACBD 交 AE 于 F 且 FD=2AB 。

求证：/ ABD=2 / DBC:丄 4=2/ 5 即/ ABD=2 / DBC例5若圆内接四边形的对角线互相垂直，则圆心到四边形一边是我们就想法造这个量。

在^ DHCFHA FCB 中 / DHCh FCB / BDCh F••• AD=CF • AD=20E例6 E 是正方形ABCD 勺CD 边的中点。

F 是EC 的中点。

求证: / DAE= / FAB证明：作/ FAD 的平分线交BC 于 H,交DC 的延长线于G则/ 1 = Z2=Z G ••• FA=FG证明：取FD 的中点 M ，连接 AM ，贝J AB=FM=MD=AM •••/ 1 = / 2 / 3二/ 4的距离等于这边的对边的一半。

分析：从图上看，0E 与AD 之间没 有任何关系，这时我们就要想法找一个 量与他们俩都有关系的量。

借助这个量进行等量传递。

但这个量也找不到。

于证明：过B 作直径BF ，连接CROEg CFDDAHB5AF=4 a=FG CG=FG-FC=a•••△ ABHm GCI^A ADE作业:4、ABCD^正方形, P是CD上一点，AP二PC+BCM是CD的中点。

求证：/ BAP二N MAD5、△ ABC中, AB=AC D是AC的中点，DE平分/ ADB 交AB于E。

圆ADE交BD于F。

求证：① BF=2E②BF=2AE6、求证：三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的2倍。

、证明三倍以外的倍分问题1、方法：①当是偶数倍时，采取折半再折半或折半传递。

②当是奇数倍时采用传递或减一传递。

1 例1 △ ABC中，E是AB的中点。

D是AC上一点，且CD=21DA。

BD 交CE 于F。

求证：FD=4 BE1 证明：作EGX1 AD求证：外角/ ACD=2B•••/ ACDh 2+Z 1=3/ B例3 E 是平行四边形ABC □的边AB 的中点，F 在AD 上，且AF^AD FE 交 AC 于 G 求证：AGg AC5•••△ AF3A CHG • CG=4AG1••• AG 二-AC5c 1 cP,且 PC 二PO 求证：AC 3 BD••• EG 二CD BG=GD △ GEF^A DCF• FD=1BE例2 △ ABC 中，/ C 是钝角,E C 垂直于BC 交AB 于E 且BE=2AC 证明：作CF// AB 则/仁/ B证明：延长FE 交CB 的延长线于H贝仏 AFE^A BHE 二 AF=BHV AD=3AF ••• CH=4AF例4 AB 是©O 的直径。

弦CD 交AB 于取BE 中点G,连接CG 则/ B 二/ 4 / A 二/B证明：连接0G 0D则/仁/ C二/ D/ 3二/ 1+Z C=2/ 1/ BOD/ 3+/ D=3/ 1C 1 C二BD作业:?、△ ABC中，AC垂直2 BC AD// BC交BD于D, BD交AC于E 且ED=2AB 求证：/ ABE= /3ABC8、延长© 0的半径0A到B,使AB=OA CD切O 0于D,且CD不经过AB之间。

BCICD于Co 求证：/ ABC/ CAD9 、AB弧= 120°, PA PB切O0于A、B°O0 分别切AB弧、PA PB于C、D F。

求证：O 0的周长=1 O0的周长。

3、证线段或角的和差方法1、在长者上截一短者，证明余者等于另一短者。

方法2、延长一短者，使其等于二短者之和。

证明延长后与长者相等。

例1 △ ABC是圆内接正三角形，P是BC弧上任一点。

求证:PA二PB+PC。

证明：在AP上截AE二PC,连接BE•••/ 1 = / 2 AB=AC PC=AE得证。

（右图可用于证法3和证法4）例2 △ ABC 中, AB=ACZ A=100° ,BD 是角平分线。

求证:BD +AD =BC/ A=100° AB=AC •••/ ABC / C=4ff•••△ ABE^A CBP ••• BE=B P•••/ 3二/4=6O°.・. BP 二BE 二EP ••• PA 二PB+PE证法2:在AP 上截AE 二PB 连接CE 则^ ACE^A BCP 艮据/ APC=60 可证PEC 是正二角形，从而命题得证。

证法3、延长BP 交AC 的延长线于E ，则 / BPA+^ APC+^ CP E=180 / ACB+Z BCP 吃PCE=180 , 可证△ PCE 是正三角形。

继而可证△ BEC^AAPC 从而命题得证。

证法4、延长BP 至E ,使P E=PC 连接CE 从而可证^ PCE 是正三角形。

继而可证△BEC^AAPC 从而命题证明：在BC 上截BE=BD 贝y/ 3二/ 4 •••/ 1 = / 2=20°/ 3=/ 4=80° / 5=180° - / ADB-/ 3=40° =/ C••• DE =EC又A 、B 、E 、D 四点共圆••• AD =ED • BD +AD =BC证法2 延长BD 至E,使DE=ADP 心在BC上截BF=BA 则^ ABD^A FBD••• AD=FD=DE Z ADBy BDF=60•••/ FDC=60 二/ EDC• △ CED^A CFD •••/ DEC y DFC=80 二/FCE••• BC=BE=BD+DE=BD+AD作业10、在^ ABC中, y B=2/ C, AD是角平分线。

求证：AB+BD=AC11、△ ABC中, CE是高，AB二AC D是BC延长线上一点，DF丄AB 于F，DML AC交AC延长线于M。

求证：DM=DF-CE12、E、F分别是正方形ABCD边BC和CD上的点且/ EAF=45。

求证：EF=BE+DF方法3、利用三角形的面积。

判断：当结论中的三条线段分别是底边相等的三个三角形的高时，考虑利用三角形的面积进行证明。

例3求证：等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高。

已知：如图AB=AC P吐AB PDIAC CF丄AB求证：CF二PE+PD证明：S A AP B2 AB • PES A APC= AC - PD1&ABC=S APB+SA PC• 2 AB・CF=, AB・PE+1 AB・PDCF二PE+PD方法4:利用等量传递CEL MN于E。

求证：DE二BD+CE例4 如图Rt △ ABC中，/ A=90°AB二AC MN过A, BEU MN于D,例5如图G是^ ABC的重心, 直线MN过GMN于E, CFL MN于F。

求证：AD=BE+CF证明：连接AG并延长交BC于H,1作HI L MN于I，则HI=2AG AD 2•••△ HIG• GGf A T= 2••• AD=2HI AD=BE+CF 例6定理：直角三角形内切圆的直径等于两条直角边的和减斜边的差。

已知：如图Rt △ABC中/ C=9ff O O分别切BC CA AB于D E、F,设OO的直径是d求证：d=AC+BC-AB证明：连接OE OD则CD+CE=dV DC=BC-BD=BC-BF CE=AC-AE=AC-AF••• DC+CE二BC+AC-(BF+AF)二BC+AC-AB N••• DE二DA+AE二证明:ADL MN于D, BE!AMH CB••• d二AC+BC-AB作业:13、求证：正三角形内任一点到三边的距离之和等于高。

14、在^ ABC中，角平分线BD CE相交于Q 过0作MN/ BC分别交AB AC于M N。

求证：MN二BM+CN一对角线上两顶点到MN的距离之和等于另一条对角线上两顶点到MN的距离之和。

16、CD是Rt△ ABC斜边上的高。

求证：内切于^ ABC △ CAD △ CBD勺三个圆的半径的和等于CD四、证线段或角的和差倍分方法：1、先作出和差，再证明倍分。

方法：2、先证明倍分，再计算和差。

（此法多用于证线段）方法：3、用计算的方法——纯代数法证明和差倍分。

（此15、MN是平行四边形ABCD^外任一条直线。

求证:法多用于证角，便于计算。

）注意：在证明角的和差倍分时，涉及到的量比较多，往往用单一字母表示角进行计算。

例1 △ ABC中，AB >AC , AD是角平分线，M是BC的中点,1EM丄AD交AB于E,求证：BE=2 (AB-AC )证明：在AB上截AF=AC则FC丄AD ••• EM // FC BF=AB-ACV BM=MC ••• BE=EF• BE=1 BF=2 (AB-AC)例2 梯形ABCD 的腰CD 丄BA 。