q≥0
(5.1) (5.2)
ql (z) = min{qz : p = Xq}.
q≥0
下面举例说明利用这些表达式计算界.
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6.5 状态价格与价值界 Example 2 第五章例 1 的未定权益 (1, 1) 的价值界可以利用公式 (5.1) 和 (5.2) 来计算. 我 们有 qu (1, 1) = max {q1 + q2 : q1 + 2q2 = 1}, (5.3)
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6.2 状态价格
在第三章我们在完备市场的假设下导出了相应于给定证券价格的 状 态 价 格. 如 果 市 场 是 完 备 的, 则 支 付 定 价 泛 函 q 定 义 在 整 个 未 定 权 益 空 间 RS 上, 状 态 价 格 向 量 q = (q1 , . . . , qS ) 提 供 了 泛 函 q 的 一 种 表 示 q(z) = qz, ∀z ∈ RS . 利用估价泛函而不是支付定价泛函, 第三章的推 导现在可推广到不完备市场. 估价泛函由于是 RS 上的一个线性泛函, 可用它在 RS 的基向量上 的值确定. 令 qs ≡ Q(es ), ∀s, (2.1)
当且仅当存在 b ∈ Rn 使得 y = Yb 和 b 0. (3.4)
取 Y = X , y = p, a = h, b = q, 则 Stiemke 引理是说不存在套利和 存 在 严 格 正 的 状 态 价 格 是 等 价 的. 这 个 结 果 已 在 第 五 章 定 理 1 和 本 章 定 理 2 中证明.
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6.4 图形表示
在第三章我们对两个证券的情形给出了证券价格的图形分析. 已证 明, 只要价格向量位于由这两个证券在每个状态下的支付向量生成的凸 锥, 证券价格就排除了强套利; 只要证券价格向量位于该凸锥的内部, 证 券价格就排除了套利. 这正好是严格正 (正) 状态价格的存在性的图形解 释. 具有正的状态价格 q 的方程 (2.5) 意味着证券价格向量 p 位于由所 有向量 x·s = (x1s , . . . , xJs ) ∈ RJ 生成的凸锥. 如果状态价格是严格正的, 那么向量 p 位于该锥的内部.
我们有 (2.2)
zs Q(es ) =
s
zs qs ,
即 Q(z) = qz. (2.3)
公式 (2.3) 是估价泛函 Q 的状态价格表示, 它定义了估价泛函和状 态价格向量之间的一对一关系. 由于不完备市场中的估价泛函不是惟一 的 (第五章定理3), 状态价格也不是惟一的.
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6.5 状态价格与价值界
在第五章第四节节证明金融学基本定理时，我们证明了: 对任何介 于未定权益 z 的下界 ql (z) 和上界 qu (z) 之间的值, 有可能定义一个正的 估 价 泛 函, 它 将 z 映 射 成 这 个 设 定 的 值. 由 此 可 知, z 在 所 有 正 的 估 价 泛 函 下 的 值 的 集 合 是 以 ql (z) 为下 限 、 以 qu (z) 为上 限 的 区 间. 由 于 每 个估价泛函具有状态价格表示 (2.3), 当把相应于给定证券价格的所有 状态价格应用于 z 时, 就同样得到了 z 的值的集合. 利用状态价格的刻 画 (2.5), 我们得到上界和下界的如下表示: qu (z) = max{qz : p = Xq},
其中 es 是状态 s 的状态权益. 值 qs 就是状态 s 的 状态价格. 如果 Q 是 严格正 (正) 的, 则每个状态价格 qs 是严格正 (正) 的.
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6.2 状态价格
由于每个未定权益 z ∈ RS 可以写成 z = Q(z) =
s
s zs es ,
(q1 ,q2 ,q3 )≥0
(q1 ,q2 ,q3 )≥0
最大值为 1/6 并在 q = (1/3, 0, 1/6) 达到, 最小值为 0 并在 q = (0, 1/2, 0) 达到.
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6.6 无风险支付
不依赖于状态的未定权益是 无风险的. 如果市场是完备的, 无风险 权益必然在资产包中. 如果市场不完备, 有可能可以也有可能不可 以构造具有无风险支付的证券组合. 假定存在国库债务, 它是没有违约风险的, 似乎没有理由考虑无风 险权益不在资产包中的可能性. 然而, 名义债务的支付受限制于通 货膨胀风险因而在实际中是随机的. 由于我们不是在建立货币经济 学模型, 我们并不试图去解释通货膨胀风险, 但我们也不想把分析 局限于这样的情形: 保障投资者获得完全无风险的投资. 如 果 非 零 无 风 险 支 付 在 资 产 包 中, 那 么 所 有 无 风 险 支 付 在 资 产 包 中, 而且只要一价定律成立, 它们都有相同的收益. 我们用¯ r表示无 风险收益. 由公式(2.2)知¯ r 满足 ¯ r= 1
(q1 ,q2 )≥0
ql (1, 1) =
(q1 ,q2 )≥0
min {q1 + q2 : q1 + 2q2 = 1}.
(5.4)
最大值为 1 并在 q = (1, 0) 达到, 最小值为 1/2 并在 q = (0, 1/2) 达到. Example 3 第五章例 3 中的价值界可以利用公式 (5.1) 和 (5.2) 推导如下: qu (0, 0, 1) = qu (0, 0, 1) = max min {q3 : q1 + q2 + q3 = {q3 : q1 + q2 + q3 = 1 ; q1 + 2q2 + 4q3 = 1}, 2 1 ; q1 + 2q2 + 4q3 = 1}. 2 (5.5) (5.6)
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6.3 Farkas-Stiemke 引理
不存在强套利与存在正的状态价格之间的等价性可以由著名的数 学结果, Farkas 引理, 直接推出. 这个结果在推导证券组合约束下的状 态价格是基本的. 推导将在第7章中给出. 令 y 和 a 是 m 维向量, b 是 n 维向量, Y 是 m × n 矩阵. 定理 3 (Farkas 引理) 不存在 a ∈ Rm 使得 aY ≥ 0 和 当且仅当存在 b ∈ Rn 使得 y = Yb 和 b ≥ 0. (3.2) ay < 0 (3.1)
s
qs
.
(6.1)
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6.7 风险中性概率
假设证券价格排除了套利(强套利), 具有严格正收益¯ r 的无风险支付 在资产包中. 令q是严格正(正)的状态价格和风险中性概率
6.2 状态价格
为使状态价格是正的，我们必须有 0 ≤ q3 ≤ 1/6. 如果 0 < q3 < 1/6, 则状态价格是严格正的. 严格正解的存在性说明证券价格 p1 = 1/2, p2 = 1 排除了套利. 值得注意的是，执行价格为 3 的股票买权的价值在由 q1 , q2 , q3 给 定的估价泛函下为 q3 . 条件 0 ≤ q3 ≤ 1/6 恰好就是第五章例3导出的期 权价值需介于上下界之间的那个条件.
第六章 状态价格和风险中性概率
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李仲飞
2014年9月20日
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6.1 引言
根 据 金 融 学 基 本 定 理, 支 付 定 价 泛 函 可 以 延 拓 为严 格 正 (正) 的 估 价泛函当且仅当证券价格排除了套利 (强套利). 在本章我们将证明 每个严格正 (正) 的估价泛函可以用严格正 (正) 的状态价格向量来 表示. 状态价格作为与证券价格及其支付相联系的线性方程组的严 格正 (正) 解可以容易地计算. 严格正 (正) 状态价格的存在性的一 个推论是不存在套利 (强套利). 状态价格的唯一性的一个推论是市 场是完备的. 估 价 泛 函 也 可 以 用 状 态 的 严 格 正 (正) 的 概 率 来 表 示. 这 些 概 率, 通 常 称 为 风 险 中 性 概 率, 是 状 态 价 格 的 简 单 转 换, 因 而 和 状 态 价 格 一 样有用. 在风险中性概率表示下, 每个证券的价格等于它的用无风 险收益贴现的期望支付.
取 Y = X , y = p, a = h, b = q, 则 Farkas 引理是说不存在强套利和 存在正的状态价格是等价的. 这个结果已在第五章定理2和本章定理 1 中证明.
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6.3 Farkas-Stiemke 引理
不 存 在 套 利 与 存 在 严 格 正 的 状 态 价 格 之 间 的 等 价 性 可 由 Stiemke 引理直接推出. Stiemke 引理是 Farkas 引理的一种严格形式: b 是严格 正的. 定理 4 (Stiemke 引理) 不存在 a ∈ Rm 使得 aY ≥ 0 和 ay < 0 且其中至少有一个严格不等式 (3.3)
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6.2 状态价格
状态价格是 J 个方程、S 个未知数 qs 的方程组 (2.4) 的解. 严格正 的状态价格是严格正的解, 正的状态价格是正的解. 如果市场不完备, 则 支付矩阵 X 的秩小于 S, (2.4) 的独立方程个数不超过未知数的个数. 如 果市场完备, 则状态价格惟一. 当然，如果市场不完备, 方程组 (2.4) 也 有非正解，但它们没有资格做状态价格. 定理 1 存在严格正的估价泛函当且仅当方程组 (2.5) 有严格正的解. 每个严格 正的解 q 定义了一个严格正的估价泛函 Q, 满足 Q(z) = qz, ∀z ∈ RS . 证 明 在公式 (2.1)–(2.5) 中，证明了相应于严格正的估价泛函的状态 价格是方程组 (2.5) 的解. 反之，如果 q 是方程组 (2.5) 的严格正解， 则由 Q(z) = qz 定义的泛函是线性的、严格正的. 只要 z ∈ M, 则存在 证券组合 h 使得 z = hX , Q(z) = qz = hXq = ph (即 Q 与 M 上的支付定 价泛函一致). 于是, Q 是严格正的估价泛函.