他 或 她 的 禀 赋 在 时 刻 0 为 0, 在 时 刻 1 为 (1, 1). 令 证 券 价 格 为 p1 = p2 = 1. 代理人在该价格处的最优证券组合为 零组合. 因此, 即使一价 定律不成立, 这些价格也是均衡价格. 这里效用函数在时刻 1 严格递增 的条件满足, 但不存在具有正的非零支付的证券组合.
他或她的禀赋在时刻 0 为 1, 在时刻 1 为 (1, 2), 均衡证券价格使得代理人的最优证券组 合为 零组合. 通过简单的变量替换, 问题 (4.1) 可写成
表示状态 s 的未定权益的价格. 我们称 qs 为状态 s 的 状态价格. 由于 RS 上的任何线性泛函可由它在 RS 的基向量上的值确定, 支 付定价泛函 q 可表示为 q(z) = qz, ∀z ∈ RS , (5.2)
其中上式右端的 q 是 S 维状态价格向量. 注意, 这里我们用同一符号表 示支付定价泛函和状态价格向量.
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第二章 线性定价
2.3 支付定价泛函
与 支 付 定 价 泛 函 相 关 的 还 有 两个 算 子. 每 个 证 券 组 合 是 一个 由 所 有 证 券 的 持 有构 成 的 J 维 向 量. 所 有 证 券 组 合 组 成 的 集 合 为 RJ , 称 为 证券组合空间. 一个证券价格向量 p 可以解释为从证券组合空间 RJ 到数轴 R 的线性泛函: p(h) = ph. (3.3)
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第二章 线性定价
2.4 线性均衡定价
Example 2 假设有两个状态和两个证券, 支付为 x1 = (1, −1), x2 = (2, −2), 代表性 代理人的效用函数只依赖于时刻-1 消费且为 u(c1 , c2 ) = ln(c1 ) + ln(c2 ), (c1 , c2 ) 0. (4.2)
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2.4 线性均衡定价
下面的例子说明, 如果定理 2 和 3 的条件不满足, 则一价定律可能不成 立. Example 1 假设有两个状态和三个证券, 支付为 x1 = (1, 0), x2 = (0, 1), x3 = (1, 1), 代表性代理人的效用函数为 u(c0 , c1 , c2 ) = −(c0 − 1)2 − (c1 − 1)2 (c2 − 2)2 , (4.1)
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(5.5)
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2.6 重建优化问题
当 一价 定 律 成 立 时, 支 付 定 价 泛 函 提 供 了一个 表 示 代 理 人 的 消 费证券组合选择问题的简便方法. 将 z = hX 和 q(z) = ph 代入, 问题 (4.1) 可写成 max c0 ,c1 ,z s.t. u(c0 , c1 ) c0 ≤ w0 − q(z) c1 ≤ w1 + z z ∈ M. (6.1)
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2.4 线性均衡定价
相 应 于 均 衡 证 券 价 格 的 支 付 定 价 泛 函 称 为 均衡支付定价泛函. 如 果一价定律在均衡时成立, 那么根据定理 1, 均衡支付定价泛函是资产 包 M 上的线性泛函. 定理 2 如果代理人的效用函数在时刻 0 严格递增, 则一价定律在均衡时 成立, 进而均衡支付定价泛函是线性的. 证 明 如 果 一价 定 律 在均 衡 时 不 成 立, 则 存 在 证 券 组 合 h0 具 有 零 支 付 h0 X = 0 和 非 零 价 格 ph0 = 0. 不 妨 设 ph0 < 0. 对 每 个 预 算 可 行 的 证券组合 h 和消费计划 (c0 , c1 ), 即 c0 ≤ w0 − ph, c1 ≤ w1 + hX , 证券组 合 h + h0 和 消费计划 (c0 − ph0 , c1 ) 也是预算可行的且被严格偏好. 因 此最优的消费和证券组合对任何代理人均不存在. 注 4.1 不管消费是否限制为正的, 定理 2 均成立. 在第四章我们将看到, 在 证券组合持有有限制时, 一价定律可能不成立.
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2.6 重建优化问题
下面举例说明在确定完备市场中的均衡证券价格时是如何使用状态价 格的.
Example 3 假设有两个状态和两个证券, 支付为 x1 = (1, 1), x2 = (2, 0), 代表性代理人的效用函数为 u(c0 , c1 , c2 ) = ln(c0 ) + 1 1 ln(c1 ) + ln(c2 ), 2 2 ∀(c0 , c1 , c2 ) 0, (6.5)
第二章 线性定价
第二章 线性定价
李仲飞
2014年9月20日
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2.1 引言
在分析证券价格时，有两个中心概定价
2.2 一价定律
一 价 定 律: 具有相同支付的证券组合有相同的价格, 即 hX = h X ⇒ ph = ph , ∀h, h . (2.1)
如果不存在冗余证券, 则只有一个证券组合生成任意给定的支付, 从而 一价定律平凡成立.
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2.2 一价定律
一价定律成立的一个充要条件是具有零支付的证券组合的价格为 零, 即 hX = 0 ⇒ ph = 0, ∀h. (2.2)
如 果 一价 定 律 不 成 立, 那 么 资 产 包 中 的 每 个 支 付 可 以任 意 价 格 购 买. 事实上, 零支付可以任意价格购买, 这是因为具有零支付的证券组 合 的 任 何 倍 数 也 是 一个 具 有 零 支 付 的 证 券 组 合. 既 然 零 支 付 可 以任 意 价格购买, 任何支付可以任意价格购买. 用数学语言写出来就是: 由于 一价 定 律 不 成 立, 存 在 h, h 使 得 hX = h X , ph = ph . 令 h = h − h , 则 hX = 0, ph = 0. 从而, 对任意实数 λ, 支付 (h + λh)X 等于 hX , 而其 价格 p(h + λh) = ph + λph 可以是任意的.
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2.5 完备市场中的状态价格
令 es 表示未定权益空间 RS 中的基向量, 它的第 s 个分量为 1, 其余 分量为零. 向量 es 称为 状态 s 的 未定权益 或 Arrow 证券. 它是对依从 于状态 s 出现的一单位消费的权益. 如果市场是完备的, 而且一价定律 成立, 那么支付定价泛函给每个状态依存权益赋了个惟一的价格. 令 qs ≡ q(es ) (5.1)
(6.2)
该问题可解释为带 Arrow 证券的消费-证券组合选择问题. 与条件 (6.4) 类似, 问题 (6.2) 的 一阶最优性条件 (在内点解处) 蕴含着 p=X ∂ u/∂ c1 . ∂ u/∂ c0 (6.3)
上式两端左乘矩阵 X 的左逆, 然后利用公式 (5.5), 则得到 q= ∂ u/∂ c1 . ∂ u/∂ c0 (6.4)
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2.5 完备市场中的状态价格
由于每个证券的价格等于其支付在支付定价泛函下的值, 我们有 pj = qxj . 写成矩阵形式, 就是 p = Xq. (5.4) (5.3)
公式 (5.4) 是一个线性方程组, 与具有给定证券价格的状态价格对应. 利 用支付矩阵的左逆, 得到 q = Lp. 注 5.1 本节的结果依赖于市场完备性的假设, 因为否则状态权益 es 可能 不在资产包 M 中, 因而 q(es ) 可能没有定义. 在第五章, 我们将在非完 备市场中引入状态价格.
这个公式清楚地表明代理人在证券市场的消费选择仅依赖于资产包和 支 付 定 价 泛 函. 生 成 相 同 资 产 包 和 相 同 支 付 定 价 泛 函 的 任 何 两 组 证 券 支 付与价格导致相同的消费选择.
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2.6 重建优化问题
如果市场是完备的, 问题 (4.2) 的最后一个约束自动成立. 进一步, 在支付定价泛函的地方我们可以用状态价格. 于是问题 (4.2) 简化为 max u(c0 , c1 ) c0 ,c1 ,z s.t. c0 ≤ w0 − qz c1 ≤ w1 + z.
他 或 她 的 禀 赋 在 时 刻 0 为 1, 在 时 刻 1 为 (1, 2). 由 于 禀 赋 是 一个 饱 和 点, 证 券 的 任 何 价 格 p1 , p2 , p3 都 是 均 衡 价 格. 设 h 为 具 有 零 支 付 的 证 券 组 合, 即 hX = 0, 则 h1 = h2 = −h3 . 该证 券 组 合 的 价 格 为 ph = p1 h1 + p2 h2 + p3 h3 = (p3 − p2 − p1 )h3 . 因此当 p1 + p2 = p3 时, 一价定律不成立. 这里效用函数在时刻 0 严格递增的条件不满足.
它给每个证券组合 h 指配了价格 ph. 这样, 根据需要我们用符号 p 表示 泛函或价格向量. 类似地, 支付矩阵 X 可以解释为从证券组合空间 RJ 到资产包 M 的线性泛函: X (h) = hX . (3.4)
它给每个证券组合 h 指配了支付 hX . 这样, 根据需要我们用符号 X 表 示泛函或支付矩阵.
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2.3 支付定价泛函
利用上面三个泛函, 我们有 p = q ◦ X, 即 ph = q(hX ), ∀h ∈ RJ . (3.6) (3.5)
如果不存在冗余证券, 则支付矩阵 X 存在右逆 R, 从而有 q(z) = zRp, ∀z ∈ M. (3.7)
这是因为存在 h 使得 z = hX , 又 XR = I , 故 hp = hIp = hXRp = zRp.
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2.4 线性均衡定价