数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式①通项公式：1(1)n a a n d =+- （从第1项1a 开始为等差） ()n m a a n m d =+- （从第m 项m a 开始为等差）()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m -=⎧⎪=+-⇒⎨-=⎪-⎩②前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ （2）证明等差数列的法方.①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）⇔{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）⇔{}n a 为等差数列 ③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0) ⇔{}n a 为等差数列 即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+④前n 项和公式法：2n S pn qn =+ (p ， q 为常数) ⇔{}n a 为等差数列即：关于n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论<①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b +(k ， b 为非零常数)均为等差数列.②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +. 特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a③在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列)④若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等差数列，且公差为2k d⑤若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{}nS n也为等差数列. $⑥ 11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 此性质对任何一种数列都适用⑦求n S 最值的方法：I: 若1a >0，公差d<0，则当10k k a a +≥⎧⎨≤⎩时，则n S 有最大值,且k S 最大；若1a <0，公差d>0，则当10k k a a +≤⎧⎨≥⎩时，则n S 有最小值，且k S 最小；II ：求前n 项和2n S pn qn =+的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k ，当n k = 时，k S 为最值，是最大或最小，通过n S 的开口来判断。

；二、等比数列（1）等比数列的基本公式①通项公式：11n n a a q -= （从第1项1a 开始为等比）n mn m a a q -= （从第m 项m a 开始为等差）②前n 项和公式：1(1),(1)1n n a q S q q-=≠-，1,(1)n S na q == ：（2）证明等比数列的法方①定义法：对任意的n ，都有1(0)n n n a qa a +=≠⇔1n na q a +=(q ≠0) ⇔{}n a 为等比数列 ②等比中项法：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 ③通项公式法：1(,0n n a aq a q -=是不为的常数)⇔{}n a 为等比数列（3）常用结论①若数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列1{}n a ，{}n k a ，2{}n a ，21{}n a -，{}n n a b {}n na b (k 为非零常数) 均为等比数列.—②若m+n=p+q (m ， n ， p ， q ∈*N )，则n m a a =p q a a .特别的，当n+m=2k 时，得n m a a =2k a③在等比数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为1k q+ (例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公比3q 的等比数列)④若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等比数列，且公差为kq(【（，三、求任意数列通项公式n a 的方法（1）累加法：若n a 满足a n+1=a n +f(n)利用累加法求：n a12132431()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-例题：若11=a ，且12+=+n n a a n ，求：n a:：练习题：若数列n a 满足1120++--=n n n a a ，且10=a!@}（2）累乘法：若n a 满足1()+=⋅n n a f n a 利用累乘法求：n a32411231()()()()n n n a a a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ~例题：在数列{a n }中，1111,2++==n n n a a a n，求：n a .)!练习题：在数列{a n }中，11a =且1n n a na +=，求：n a （提示：123......!n n ⨯⨯⨯=）》|…（3）递推公式中既有n S ，又有n a ，用逐差法11n nn S a S S -⎧=⎨-≥⎩ n=1　n 2 特别注意：该公式对一切数列都成立。

& ——% >（4）若n a 满足1,()+=+≠n n a pa q p q ，则两边加：1=-qx p ，在提公因式P ，构造出一个等比数列，再出求：n a—例题：已知数列{}n a ，满足：121+=+n n a a ，且11=a ，求：n a`习题1：已知数列{}n a 满足：131+-=n n a a 且11=a ，求：n a<习题2：已知数列{}n a 满足：12a =，且n n S a n +=，求：n a{~！（5）若n a 满足1++=+n k n n a pa p ，则两边同时除以：1+n p ，构造出一个等差数列，再求出：n a例题：已知n a 满足：11=a 1122-+=+n n n a a ，求：n a 解：111122222-++=+⇒=+n n n n n n n a a a a ，既有：11222+-=n n n n a a所以：2⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n a 是首项为：1122=a ，公差12=d 的等差数列 11(1)2222=+-⨯=∴n na n n 所以：1222-=⋅=⋅nn n n a n@习题1：已知1133++-=n n n a a 且11=a ，求：n a￥习题2：已知11232n n n a a -+=+⋅且11a =，求：n a、~（六）待定系数法：若{}n a 满足以下关系：&()1n n a ka f n +=+ 都可用待定系数法转变成一个等比数列来：温馨提示：提k ，对()f n 待定系数例题1：已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式. 解：11152(5)235++++⋅=+⋅⇒=-⋅n n n n n n n a x a x a a x ，与原式对应得，1=-x1111552(5)25++++--=-⇒=-∴n n nn n n nn a a a a 所以：{}5-n n a 是首项1151-=a ，公比2=q 的等比数列 既有：115252---=⇒=+n n n n n n a a￥例题2：已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.解：11123(2)322++++⋅+=+⋅+⇒=+⋅+n n n n n n n a x y a x y a a x y ，与原式对应得：5,2==x y 11115225223(522)3522+++++⋅++⋅+=+⋅+⇒=+⋅+∴n n nn n n n n a a a a 所以：{}522+⋅+n n a 是首项为：1152213+⋅+=a ，公比3=q 的等比数列既有：11522133133522--+⋅+=⋅⇒=⋅-⋅-n n n n n n a a|<（七）颠倒法：若{}n a 满足：1n n n C a a a C+⋅=+，用颠倒法； 11111n n n n n n n n n n C a a C a C a a C a C a C a C a C a ++⋅+=⇒==+=++⋅⋅⋅ 。

所以：1111n n a a C +-=，所以：1{}n a 是以首项为：11a ，公差1d C =的等差数列例题1：已知122nn n a a a +⋅=+，且12a =，求：n a|￥例题2：已知1133n n n n a a a a ++⋅=-，且11a =，求：n a…~（八）倒数换元法：若数列{}n a 满足：1+⋅=⋅+nn n A a a B a C，则颠倒变成111n n n n B a C C B a A a A a A+⋅+==⋅+⋅ 然后再用两边加：1-q p 或者待定系数法既可求出1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a ，再颠倒就可得到：{}n a 例题：若数列{}n a 满足：123+=+n n n a a a ，且11=a ，求：n a 解：1121311322++=⇒=⋅++n n n n n a a a a a ，两边加：1得：11313122++=⋅+n n a a )111113131(1)1221+++∴+=+⇒=+n n n na a a a ， 所以：11⎧⎫+⎨⎬⎩⎭n a 是首项为：1112+=a ，公比：32=q 的等比数列； 既有：122121213132212()2232--------+=⋅⇒=⇒=-n n n n n n n n n n a a a 若用待定系数法：11121311131()3222+++=⇒=⋅+⇒+=++n n n n n n na a x x a a a a a11131313112222+++=+⇒=+n n n n x x x a a a a 与原式子对应得1=x ，然后的方法同上； 习题：已知1132n n n n a a a a ++⋅=-且11a =，求：n a/四、求前n 项和S n 的方法（1）错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前n 项和；或者是等差与等比的商的前n 项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。