在数列高考知识点知识网络数列基本概念数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将数列分类:依定义域分为:有穷数列、无穷数列; 依值域分为:有界数列和无界数列;依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法); 数列通项:()na f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时,总有 1,()n n a a d d +-=常,d 叫公差。
2、通项公式1(1)n a a n d =+-3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++,相加得12n n a a S n +=, 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠,是n 的二次函数。
特别的,由1212n n a a a -+= 可得 21(21)n n S n a -=-。
4、由三个数a ,A ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则A 称为a 与b 的等差中项.若2a cb +=,则称b 为a 与c 的等差中项. 5、等差数列的性质:(1)m n p q +=+(m 、n 、p 、*q ∈N ),则m np q a a a a +=+; 特别地,若2n p q =+(n 、p 、*q ∈N ),则2np q a a a =+.(2)n S ,2n n S S -,32n n S S -成等比数列. (3)若项数为()*2n n ∈N ,则S S nd -=偶奇,.(4)若项数为()*21n n -∈N ,则()2121n n S n a -=-,1S n S n =-奇偶3、等比数列1、 定义 当n N ∈,且2n≥ 时,总有1(0)nn a q q a -=≠ , q 叫公比。
2、 通项公式:11n n mn m a a q a q --==, 在等比数列中,若2m n p q r+=+= , 则2m n p q r a a a a a ⋅=⋅=.3、 、在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,则G 称为a 与b 的等比中项.若2G ab =,则称G 为a 与b 的等比中项. 4、 等比数列的前n 项和的性质:(1)m n p q +=+(m 、n 、p 、*q ∈N ),则m n p q a a a a ⋅=⋅;若{}n a 是等比数列,且2n p q =+(n 、p 、*q ∈N ),则2np q a a a =⋅.(2)n S ,2n n S S -,32n n S S -成等比数列。
5、 前n 项和公式: 由12231,n n n n n S a a a qS a a a a +=+++=++++, 两式相减,当1q ≠时,11(1),(1)11n n a a q a q S q q q--==≠-- ;当1q =时 ,1n s na = 。
关于此公式可以从以下几方面认识:①不能忽视11(1)11n n a a qa q S q q--==-- 成立的条件:1q ≠。
特别是公比用字母表示时,要分类讨论。
② 公式推导过程中,所使用的“错位相消法”,可以用在相减后所得式子能够求和的情形。
如,公差为d 的等差数列{}n a ,212nn n S a x a x a x =+++ ,则23121n n n n n xS a x a x a x a x +-=+++,相减得211(1)n n n n S x a x dx dx a x +-=+++-,当1x ≠时,111(1)(1)1n n n n dx x S x a x a x x -+--=+--,12112(1)1(1)n n n n a x a x dx x S x x +---=+--当1x =时 ,第一节 等差数列的概念、性质及前n 项和题根一 等差数列{a n }中,69121520a a a a +++= ,求S 20[思路]等差数列前n 项和公式11()(1)22n na a n n n S na d +-==+:1、 由已知直接求a 1 ,公差d.2、 利用性质q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+[请你试试 1——1]1、 等差数列{a n } 满足121010a a a +++= ,则有 ( )A 、11010a a +> B 、 21000a a +< C 、 3990a a += D 、 5151a =2、 等差数列中,a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,求 13S 。
第1变 求和方法——倒序相加法[变题1] 等差数列{a n }共10项,123420a a a a +++= ,12360n n n n a a a a ---+++=,求S n.[思路] 已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想S n 公式推导方法。
[请你试试 1——2]1、 等差数列{a n }前n 项和为18 ,若1S =3, 123n n n a a a --++=, 求项数n .2、 求和122nn n n n S n C C C =+++。
第2变 已知前n 项和及前m 项和,如何求前n+m 项和[变题2] 在等差数列{a n }中,S n =a,S m =b,(m>n),求S n+m 的值。
[思路],,m m nS S S +n 下标存在关系:m+n=m+n, 这与通项性质q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+是否有关?[请你试试 1——3]1、 在等差数列{a n }中,15S =6,55S =9,求 S 15 。
2、在等差数列{a n }中,1S =3,3S =9,求 S 12 。
第3变 已知已知前n 项和及前2n 项和,如何求前3n 项和[变题3] 在等差数列{a n }中,20S =10,40S =20,求 S 30[思路] 由2030,,S S S 10寻找102030,,S S S S S --1020之间的关系。
[请你试试 1——4]1、在等差数列{a n }中,123a a +=,346a a +=,求 78a a +第二节 等比数列的概念、性质及前n 项和题根二 等比数列{a n } ,574,6a a ==, 求a 9。
[思路] 1、由已知条件联立,求,从而得2、由等比数列性质,知成等比数列。
[ 请你试试2 ——1]等比数列{a n } , 10,2a q >=,若,则_______。
第1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列[变题2] 等比数列{a n } ,1234562,6a a a a a a ++=++=,求 101112a a a ++。
[思路] 等比数列中,连续若干项的和成等比数列。
[请你试试2——2]1、等比数列{a n } , 1q ≠- 时,242,6S S ==,求6S 。
2、等比数列{a n } ,1q ≠- 时,261,21S S ==,求4S 。
第三节 常见数列的通项求法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯,12a =,求数列{}n a 的通项公式。
二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=,,求数列{}n a 的通项公式。
三、累乘法例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=,,求数列{}n a 的通项公式。
四、作差法例5 (数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足11a =,2(1)n n S n a =+. 求{n a }的通项公式五,构造法例6 数列{}n a 中,若21=a ,nnn a a a +=+11,求数列{}n a 的通项公式n a 。
例7 数列{}。
求通项中n n n n a a a a a ,12,1,11+==+第四节 常见数列求和方法1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
(1)等差数列的求和公式:d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=(2)等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn (切记:公比含字母时一定要讨论)2.公式法:222221(1)(21)1236nk n n n k n =++=++++=∑2333331(1)1232nk n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑ 3.错位相减法:比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式:111)1(1+-=+n n n n ; 1111()(2)22n n n n =-++)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。
6.合并求和法:如求22222212979899100-++-+- 的和。
7.倒序相加法:8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等 (二)主要方法:1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例1.2.错位相减法求和 例2.已知 ,求数列{a n }的前n 项和S n .3.裂项相消法求和例3.求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n4.倒序相加法求和例4求证:n nn n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=+++++求值:5.其它求和方法还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。
例5.已知数列{}n n n n S n a a 求],)1([2,---=。
第四节 递推数列的通项公式及前n 项和综合例1.数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足11a =,2(1)n n S n a =+.(1)求{n a }的通项公式; (2)求和T n =1211123(1)na a n a ++++.例2 .已知数列}{n a ,a 1=1,点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ,求函数)(n f 最小值.例3 .设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n n S c ca =+-,其中c 是不等于1-和0的实常数.(1)求证: {}n a 为等比数列;(2)设数列{}n a 的公比()q f c =,数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥,试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,并求12231n n b b b b b b -+++的结果.例4.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且()0,21≠≥⋅=-n n n n S n S S a ,921=a . (1)求证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为等差数列;(2)求数列{}n a 的通项公式.例5.已知数列{}n a 是首项为114a =,公比14q =的等比数列,设1423log n n b a +=()n *∈N ,数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.(Ⅰ)求证:数列{}n b 成等差数列;(Ⅱ)求数列{}n c 的前n 项和n S ;。