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高三复习数列知识点总结

数列专题解析方法一、数列通项公式的求解 类型一:观察法例1:写出下列数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33, ; (2);,544,433,322,211(3)7,77.777.7777. ; (4);,1126,917,710,1,32 --(5);,1665,825,49,23类型二:公式法(1)1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+-例2:已知等差数列{}n a 中,,3,131-==a a 求{}n a 的通项公式 (2)11n n m n m a a q a q --==例3:已知等比数列{}n a 中,,306,6312=+=a a a 求{}n a 的通项公式 类型三:利用“n S ”求解(1)⎩⎨⎧≥-==-)2()1(,11n S S n S a n nn例4:已知数列{}n a 的前n 项和)(24*2N n n n S n ∈+-=,求{}n a 的通项公式例5:已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且有,464,3111--+-==n n n n S a a S a 求{}n a 的通项公式例6:已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且有),1(12,111≥+==+n S a a n n 求{}n a 的通项公式例7:已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意的正整数n 满足,12+=n n a S 求{}n a 的通项公式(2)1--n n S S 的推广例8:设数列{}n a 满足*13221,3333N n n a a a a n n ∈=++++- 求{}n a 的通项公式类型四:累加法形如)(1n f a a n n =-+或)(1n f a a n n =--型的递推数列(其中)(n f 是关于n 的函数)(1)若()f n 是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和 例9:,2,1211=++=+a n a a n n 求{}n a 的通项公式(2)若()f n 是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和 例10:,2,211=+=+a a a n n n 求{}n a 的通项公式(3)若()f n 是关于n 的二次函数,累加后可分组求和 例11:,1,1121=+++=+a n n a a n n 求{}n a 的通项公式 (4)若()f n 是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和 例12:,1,21121=++=+a nn a a n n 求{}n a 的通项公式 类型五:累乘法形如)(1n f a a n n =+或)(1n f a an n =-型的递推数列(其中)(n f 是关于n 的函数) 例13:)2(,1,111≥=-=-n a a nn a n n ,求{}n a 的通项公式 类型六:构造数列法(1)形如q pa a n n +=+1(其中,p q 均为常数且0p ≠)型的递推式①若1p =时,数列{n a }为等差数列; ②若0q =时,数列{n a }为等比数列;③若1p ≠且0≠q 时,数列{n a }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.例14:23,111+==+n n a a a ,求{}n a 的通项公式 方法1:设1()n n a p a λλ++=+,设)(31λλ+=++n n a a 方法2:)(323231111-+-+-=-⇒⎩⎨⎧+=+=n n n n n n n n a a a a a a a a(2)形如1()n n a pa f n +=+(1)p ≠型的递推式 ①当()f n 为一次函数类型(即等差数列) 例15:n a a a n n 23,111+==+,求{}n a 的通项公式法1:设[]1(1)n n a An B p a A n B -++=+-+,通过待定系数法确定A B 、的值,转化成以1a A B ++为首项,以p 为公比的等比数列{}n a An B ++,再利用等比数列的通项公式求出{}n a An B ++的通项整理可得.n a 法2:d a a p a a n f pa a n f pa a n n n n n nn n +-=-⇒⎩⎨⎧-+=+=-+-+)()1()(1111,令1n n n b a a +=-得:1n n b pb d -=+,可解,n b 继而可解n a②当()f n 为指数函数类型(即等比数列) 形如)(1q p q pa a n n n ≠+=+型例16:n n n a a a 23,111+==+,求{}n a 的通项公式法1:设[]1()(1)n n a f n p a f n λλ-+=+-,通过待定系数法确定λ的值,转化成以1(1)a f λ+为首项,以p 为公比的等比数列{}()n a f n λ+,再利用等比数列的通项公式求出{}()n a f n λ+的通项整理可得.n a法2:递推公式为n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数)或1n n n a pa rq +=+(其中p ,q, r 均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以1+n q ,得:q q a q p q a n n n n 111+•=++,引入辅助数列{}n b (其中nn n q a b =),得:qb q p b n n 11+=+,可解,n b 继而可解n a法3:通法 ,在1()n n a pa f n +=+两边同时除以1n p +可得到111()n n n n n a a f n p p p +++=+,令n n n a b p =,则11()n n n f n b b p++=+,求出n b 之后得nn n a p b = 形如)(1q p q pa a n n n =+=+型 可用法2、法3求解 类型七:对数变换法形如1(0,0)q n n a pa p a +=>>型的递推式在原递推式1q n a pa +=两边取对数得1lg lg lg n n a q a p +=+,令lg n n b a =得:1lg n n b qb p +=+,化归为q pa a n n +=+1型,求出n b 之后得10.n b n a =(注意:底数不一定要取10,可根据题意选择)。

可选取以p 为底例17:3112,1n n a a a ==+,求{}n a 的通项公式类型八:倒数变换法(1)形如11n n n n a a pa a ---=(p 为常数且0p ≠)的递推式 两边同除于1n n a a -,转化为111n n p a a -=+形式,化归为q pa a n n +=+1型求出1na 的表达式,再求n a例18:n n n n a a a a a 1112,1--=-=,求{}n a 的通项公式 (2)形如1n n n ma a pa q+=+的递推式采用取倒数方法转化成mpa m q a n n +⋅=+111的形式,化归为q pa a n n +=+1型求出1na 的表达式,再求n a例19:232,111+==+n nn a a a a ,求{}n a 的通项公式 例20:111223,1++-==n n n n a a a a a ,求{}n a 的通项公式 类型九: 形如n n n qa pa a +=++12型的递推式:用待定系数法,化为特殊数列}{1--n n a a 的形式求解。

方法为:设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++,比较系数得q hk p k h =-=+,,可解得h k 、,于是1{}n n a ka +-是公比为h 的等比数列,这样就化归为q pa a n n +=+1型。

总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.n a二、数列前n 项和的求解类型一:直接相加法.21n n a a a S +++=类型二:公式法 (1)d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=(2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=--=)1()1(11)1(111q na q qqa a q q a S n n n(3)6)12)(1(3212222++=++++n n n n 类型三:倒序相加法⎩⎨⎧+++=+++=-1121a a a S a a a S n n nnn 类型四:(乘公比)错位相减法适用于n n n b a c ⋅=,其中n a 为等差数列,n b 为等比数列n n n n n b a b a b a b a b a S +++++=--11332211 ① =n qS 113221+-++++n n n n b a b a b a b a ②①-②例21:已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且,2n n n a ⋅=求n S 类型五:裂项相消法=n a 12211211=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++①111(1)1n n n n =-++;②1111();(21)(21)22121n n n n =--+-+1a b =- 例22:已知数列{},n a 且,)13)(23(1+-=n n a n 求其前n 项和n S .类型六:分组转化求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. 例23:数列{})1(+n n 的前n 项和为_________.类型七:并项求和法一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如)()1(n f a n n -=类型可采用两项合并求解.例24:数列{}n n ⋅-)1(的前2010项和._________2010=S类型八:||n a 型求和,其中n T 为||n a 的前n 项和,n S 为n a 的前n 项和 (1)0,01<≥+m m a a⎩⎨⎧>-≤≤=)(2)1(m n S S m n S T n mn n例25:已知{}n a 为等差数列,,310n a n -=求.||||||21n a a a +++ (2)0,01>≤+m m a a⎩⎨⎧>-≤≤-=)(2)1(m n S S m n S T m nn n例26:已知{}n a 为等差数列,,633-=n a n 求{}||n a 的前n 项和.。

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