【详解】
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD，
∴∠ECB=∠ACB－∠ACE=∠ACB－2∠ACD，
∵∠AEC=100°，
∴∠ABC+∠ECB=100°，
∴∠ABC+∠ACB－2∠ACD=100°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB,
∴2∠ACB－2∠ACD=100°，
∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，
延长BM至G，使MG＝BM＝4，连接FG、DG，如图所示：
∵M为EF中点，
∴ME＝MF，
在△BME和△GMF中，
，ห้องสมุดไป่ตู้
∴△BME≌△GMF（SAS），
∴FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，S△BEM＝S△GFM，
∴FG∥BE，
∴∠C＝∠GFC，
∵∠A+∠C＝180°，∠DFG+∠GFC＝180°，
∴∠A＝∠DFG，
【详解】
解：∵DF＝DE，CG＝CD，
∴∠E＝∠DFE，∠CDG＝∠CGD，
∵GDC＝∠E+∠DFE，∠ACB＝∠CDG+∠CGD，
∴GDC＝2∠E，∠ACB＝2∠CDG，
∴∠ACB＝4∠E，
∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ACB＝40°，
∴∠E＝40°÷4＝10°．
故答案为10．
【点睛】
【答案】5
【解析】
【分析】
在DC上取点M，使DM=DE，连接EM，通过证明∆FAE≅∆EMC，根据△EGC与△AFG面积的差是2，推出△EAC与△EMC面积的差是2，然后设MC=x,则AE=x，AD=x+3，利用面积差即可求出x，即可求出BD.
【详解】
解：在DC上取点M，使DM=DE，连接EM
∵Rt△ABC，AB=AC，AD⊥BC
【答案】12
【解析】
【分析】
延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．
【详解】
∴ - =2
解得x=2（x>0，负值舍去），
∴AD=2+3=5
∴BD=AD=5
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质以及三角形面积计算，熟练掌握各知识点，学会综合应用，正确添加辅助线是关键.
9．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．
【答案】8
【解析】
【分析】
分别以A、B点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可（A、B、C共线除外）；此外加上在AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.
【详解】
解：以A点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可，（A、B、C共线除外）；以B点为圆心，AB为半径作圆，在⊙B上的格点为C点；在AB的垂直平分线上有两个格点．故使△ABC是等腰三角形的格点C有8个．
②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为 ；
③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，PA的最小值为 （cm）．
故答案为： ．
点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．在 中，边 、 的垂直平分线分别交边 于点 、点 ， ，则 ______°.
【答案】80或100
【解析】
【分析】
根据题意，点D和点E的位置不确定，需分析谁靠近B点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E距离点B近，根据垂直平分线性质可知， ，从而有 ，再根据三角形的内角和定理可得 ，联立即可求得；（2）图2中，点D距离点B近，根据垂直平分线性质可知， ，从而有 ，由三角形的内角和定理得 ，联立即可求得.
3．在锐角三角形ABC中．BC= ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．
【答案】4
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC= ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．
【详解】
由题意可分如下两种情况：
（1）图1中，根据垂直平分线性质可知， ，
（等边对等角），
两式相加得 ，
又
，
由三角形内角和定理得 ，
，
；
（2）图2中，根据垂直平分线性质可知， ，
（等边对等角），
两式相加得 ，
又 ，
，
由三角形内角和定理得 ，
，
.
故答案为80或100.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.
【点睛】
本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.
8．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是AD上的一点。连接EC，过点E作EF⊥EC交射线BA于点F，EF、AC交于点G。若DE=3，△EGC与△AFG面积的差是2，则BD=_____.
【点睛】
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
12．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
A．2B．3C．4D．5
∵∠AOB=30°，∠DMO=90°，PD=DO=14，
∴DM=7，∠NPO=60°，∠DPO=30°，
∴∠NPD=∠DPO=30°，
∵DP=DP，∠PND=∠PMD=90°，
∴△PND≌△PMD，
∴ND=7，
∵EF=6，
∴DF=ND-NF=7-3=4，
∴OF=DF+OD=14+4=18.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
4．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长为_____．
【答案】14．
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC＝14．
【详解】
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴△AED的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝8+6＝14．
故答案为：14．
【点睛】
此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的等角对等边的性质.
5．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。
本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.
7．如图， 中， ，点 是 内部一点， ，点 是边 上一点，若 平分 ， ，则 ______°
【答案】80
【解析】
【分析】
根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB－2∠ACD，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC即可.
∵AB＝BE，
∴AB＝FG，
在△DAB和△DFG中，
，
∴△DAB≌△DFG（SAS），
∴DB＝DG，S△DAB＝S△DFG，
∵MG＝BM，
∴DM⊥BM，
∴五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积＝ ×BG×DM＝ ×8×3＝12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．
【答案】C
【解析】
以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点显然符合题意．以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交与两点（O点除外）．以OA中点为圆心OA长一半为半径作圆与x轴有一交点．共4个点符合，
13．如图， ，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：① ；②FA平分 ；③ ；④ ．其中一定正确的结论有（）
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．