必修一模块综合检测 数 学 试 题一、 选择题(本大题共10小题,每小题５分，共50分，在每小题给的四个选项中，只一个是符合题目要求的）．1.已知集合M ＝｛0,１,2,3，4}，N={1,3,５}，Ｐ=M∩N,则P 的子集共有 ( ) A.2个 B.4个 C ．6个 D ．8个２．函数()lg3f x x =-的定义域是( ) A.(0,２)B ．[0，2] C.[0，2）ﻩ D.(０,2]3.下列函数中,值域是(0,)+∞的是（ ）A ． xy -=131)( B. 12-=x y C. xy -=215D x y 21-=4.若偶函数)(x f 在),0(+∞上是减函数,则下列关系式中成立的是（ ）A ．)43()32()21(f f f >-> Ｂ．)32()43()21(f f f >->C ．)32()21()43(f f f >-> ﻩD ．)21()32()43(f f f >>-5.设()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≤时，2()2f x x x =-,则(1)f =（ ） A.3- B. 1- Ｃ. 1Ｄ.3 6．图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =,l g d y o x =的图象,,,,a b c d 的关系是（ ﻩ)Ａ.0<a<b<1<d<c B.0<ｂ<a ＜1＜c ＜ｄ C.0＜d ＜c<1<a<ｂ ﻩD.0<c<d ＜1<a ＜b7.函数2()1(0,1)x f x aa a -=+>≠ 的图象恒过定点（ ）A. (0,1) Ｂ. (0,2) C ． (2,1) D ． (2,2)8．已知log (1)()(3) 1 (1)a x x f x a x x ≥⎧=⎨--<⎩ 是定义在R 求a的取值范围是( ) A.[2,3) B ．(1,3) C.(1,)+∞ D ．(1,2] x ( ）xＡ.(0,1)ﻩ B ．(1,2)ﻩ C.(,)23 ﻩﻩ D.(,)3410.设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ，值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数ａ的值为( ) Ａ. 14 Ｂ． 14或23C ．23ﻩD ． 23或34二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共2５分）.１1.计算＝ .12.若a x f x++=131)(是奇函数，则实数=a 13.若定义域为R 的偶函数f(x ）在［0，+∞)上是增函数， 且f （21）＝０,则满足不等式 ｆ（log 4x)＞0的ｘ的集合是 . １4.已知函数()xf ex =,则()2f =15.函数()x f 的定义域为A ,若A x x ∈21,且()()21x f x f =时总有21x x =，则称()x f 为单函 数.例如，函数()()R ∈+=x x x f 1是单函数.下列命题:①函数()()R ∈-=x x x x f 22是单函数;②函数()⎩⎨⎧<-≥=2,2,2,log 2x x x x x f 是单函数;③若()x f 为单函数,A x x ∈21,且21x x ≠,则()()21x f x f ≠;④函数()x f 在定义域内某个区间D 上具有单调性,则()x f 一定是单函数.其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).三、解答题(本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤;共75分).16.(本小题12分）已知集合A ＝{x|a －1＜ｘ＜２ａ+1｝，B ＝{x|0<x<1}，若A∩B=φ，求实数a 的取值范围．17．(本小题12分）设函数2,(0)()3,(0)x bx c x f x x x ⎧++<=⎨-+≥⎩，若,1)2(),0()4(-=-=-f f f (I)求函数)(x f 的解析式；(II)画出函数)(x f 的图象，并说出函数)(x f 的单调区间. 18.（本小题12分)已知函数()f x 定义域为(０,+∞）且单调递增，满足f （4)=1，()()()f xy f x f y =+ （I)求f （1)的值；探究用()f x 和n 表示f (nx )的表达式(n ∈N *）； （ＩI ）若()f x ＋ f （x －3)≤1,求x 的取值范围.19.（本小题12分）设当1≤x 时,函数1422x x y +=-+的值域为D ,且当x D ∈时，恒有2()54fx x k x x=++≤,求实数k 的取值范围．20．（本小题13分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年）是养殖密度x （单位:尾/立方米）的函数.当x 不超过４（尾/立方米)时，v 的值为2(千克/年）;当420x ≤≤时,v 是x 的一次函数；当x 达到20(尾/立方米）时,因缺氧等原因,v 的值为0（千克/年）． (I ）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；(ＩＩ）当养殖密度x 为多大时,鱼的年生长量（单位：千克/立方米)()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值.21.（本小题１4分）已知1()log 1ax f x x +=-(10≠>a a 且）. (I ）判断函数)(x f 的奇偶性,并证明； （II)讨论()x f 的单调性;(III ）是否存在实数a ，使得()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m --，若存在,求出实数a 的取值范围；若不存在,则说明理由.参考答案题号 １ 2 3 4 ５ 6 ７ 8 9 １0 答案BDAAＡDDACD二、填空题(５×5=２5分) １1. 6 12．21-13．1(2,)(0,)2+∞ 1４. ln 2 1５． ③ 三、解答题（本大题共６小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤;共75分）16.（本小题12分)已知集合A ＝{ｘ｜a －1<x<2a ＋1｝,B={ｘ｜0<x<１}，若A∩B=φ，求实数a 的取值范围．解：∵A∩B＝Ø，当A=Ø时，有2a+1≤a -１∴a≤-2；当A≠Ø时，有２a+１＞a-１∴ａ>－2．又∵A∩B=Ø，则有2a ＋1≤0或a-１≥1∴ａ≤- 12或a≥2, ∴－２<a≤-12或a≥２,综上可知:a≤－ 12或a≥２.17．（本小题12分）设函数2,(0)()3,(0)x bx c x f x x x ⎧++<=⎨-+≥⎩，若,1)2(),0()4(-=-=-f f f（I)求函数)(x f 的解析式；(I Ｉ)画出函数)(x f 的图象,并说出函数)(x f 的单调区间. 解：(I ）,1)2(),0()4(-=-=-f f f ∴3416=+-c b ，124-=+-c b 解得3,4==c b ∴⎩⎨⎧≥+-<++=0,30,34)(2x x x x x x f(II)图象略，由图象可知单调区间为： (]2,-∞-，(]0,2-,()+∞,0，其中增区间为(]0,2-,减区间为(]2,-∞-,().,0+∞1８.(本小题12分)已知函数()f x 定义域为（0,+∞）且单调递增，满足f (4)＝1，()()()f xy f x f y =+ （I ）求f （1）的值;探究用()f x 和n 表示f (nx )的表达式（n ∈Ｎ＊)； （ＩI ）若()f x + f (x －3)≤1，求x 的取值范围;解：(I)令x =１,y =4，则f （４)＝f (1×4）=f (１）+f (4)∴f (１)=０∵()()()f xy f x f y =+∴()()()n n f x f x x x x nf x =••••=个(II)()f x ＋f (x -3）＝f ［x (x －3)］≤1=f (4),又()f x 在(0,+∞)上单调递增∴ (3)414303430x x x x x x x -≤⎧-≤≤⎧⎪->⇒⇒<≤⎨⎨>⎩⎪>⎩∴ x ∈(3,４]１9.(本小题12分）设当1≤x 时，函数1422x x y +=-+的值域为D ,且当x D ∈时,恒有2()54fx x k x x=++≤,求实数k 的取值范围． 解:令t=2x ，由ｘ≤1,则ｔ∈(０,２]，则原函数ｙ＝t 2-2ｔ+2=(t-1）2＋1∈[1,2］，即D=[1,2]， 由题意：f(x ）=x 2+kx+5≤4x ，法1：则ｘ2+（k-4）x+5≤０当x ∈D 时恒成立21(4)502(4)250k k +-+≤⎧∴⎨+-+≤⎩212k k ≤-⎧⎪∴⎨≤-⎪⎩∴ k ≤－２. 法2：则在x D ∈时恒有5()4k x x≤-++成立,故m i n5()42k x x⎡⎤≤-++=-⎢⎥⎣⎦ 20. （本小题13分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v （单位:千克/年）是养殖密度x (单位：尾／立方米)的函数.当x 不超过４（尾/立方米）时,v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时,v 是x 的一次函数;当x 达到20（尾/立方米）时,因缺氧等原因,v 的值为0(千克/年)． (I ）当020x <≤时,求函数()v x 的表达式；(I Ｉ）当养殖密度x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)()()f x x v x =⋅可以达到最大,并求出最大值.解:（I ）由题意:当04x <≤时,()2v x =；当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数()x v =**2,04,15,420,82x x N x x x N⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩(II ）依题意并由（I)可得()=x f *2*2,04,15,420,.82x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ 当04x ≤≤时,()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=；当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+,()max (10)12.5f x f ==． 所以，当020x <≤时,()x f 的最大值为12.5．2１.（本小题１4分）已知1()log 1ax f x x +=-(10≠>a a 且）. （I ）判断函数)(x f 的奇偶性,并证明; (ＩＩ)讨论()x f 的单调性；（ＩＩＩ）是否存在实数a ,使得()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m --,若存在，求出实数a 的取值范围;若不存在，则说明理由． 解:(I)由101x x +>-得:1x <-或1x > .所以，函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞. 又111()log log log ()111a a a x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-()f x ∴为奇函数.(II)任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，则120x x -<.因为12211212112()011(1)(1)x x x x x x x x ++--=>---- 所以12121111x x x x ++>--，当1a >时,所以121211log log 11a a x x x x ++>--,故12()()f x f x >,所以，函数()x f 在区间(1,)+∞上单调递减.，同理可证:当01a <<时，函数()x f 在区间(,1)-∞-上单调递增． (III ）假设存在实数a 满足题目条件．由题意得:0,0m n >>，又[],(,1)(1,)m n ⊆-∞-+∞,1m n∴<<又1log 1log a a n m-<-，log log a a m n ∴>,1a ∴>．故由(II)得：函数()x f 在区间(1,)+∞上单调递减.所以,函数()x f 在区间[],m n 上单调递减．故()1log ()1log a a f m m f n n =-⎧⎨=-⎩，所以1log log 11log log1a a a am am m n a n n+⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩,所以22(1)0(1)0m a m a n a n a ⎧+-+=⎨+-+=⎩，,m n ∴是方程2(1)0x a x a +-+=的两个不同的实根.故方程2(1)0x a x a +-+=在区间(1,)+∞上有两个不同的实根.则2(1)40112(1)0a a a f ⎧∆=-->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，解得:3a >+又1a >， 所以,3a >+,满足题目条件的实数a 存在，实数a的取值范围是(3)++∞．。