eirbng空间向量与立体几何典型例题一、选择题：1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面111ABC A BC-1A 内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ C ）ABC ABC△1AB ABCA．B C D．13231.解：C．由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高1A ABC-a1AB=（即点到底面的距离），故与1A O===1B ABC1AB底面所成角的正弦值为ABC11A OAB=另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为1,,AB AC AA1,,AB AC AA60长度均为，平面的法向量为,a ABC111133OA AA AB AC=--11AB AB AA=+21112,3OA AB a OA⋅==则与底面所成角的正弦值为1AB ABC1111OA ABA O AB⋅=二、填空题：1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形与正方形有一公共边，二面角ABC ABDE AB，分别是的中点，则所成角的余C AB D--M N，AC BC，EM AN，弦值等于．611.答案：.设，作162AB=CO ABDE⊥面，，则，为二面角OH AB⊥CH AB⊥CHO∠C AB D--，结合等边三角形cos1CH OH CH CHO==⋅∠=ABC与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则ABDE AN EM==,11(),22AN AC AB EM AC AE=+=-11()()22AN EM AB AC AC AE⋅=+⋅-=12故所成角的余弦值EM AN，16AN EMAN EM⋅=另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，O则点,(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C----,1111(,(,2222M N ---则31131(,(,,22222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===故所成角的余弦值.EM AN ，16AN EM AN EM ⋅= 三、解答题：1．（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，O ABCD -ABCD , , ,为的中点。

4ABC π∠=OA ABCD ⊥、、2OA =M OA （Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

1．方法一（综合法）（1）CD ‖A B ,为异面直线与所成的角（或其补角）MDC ∠∴AB MD 作连接,AP CD P ⊥、MP⊥⊥、、ABCD 、∵O A ∴C D M P ,4ADP π∠=∵∴D P=MD ==∵1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴所以 与所成角的大小为AB MD 3π（２）点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，AB 、、∵∴‖O C D ,连接OP,过点A 作 于点Q ，AQ OP ⊥,,,AP CD OA CD CD OAP ⊥⊥⊥、、∵∴,AQ OAP AQ CD ⊂⊥、、∵∴又 ,,AQ OP AQ OCD ⊥⊥、、∵∴线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离，OP ====∵AP DP ==，所以点B 到平面OCD 的距离为23OA AP AQ OP ===A ∴23方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO AP CD ⊥轴建立坐标系(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),A B P D O M(1)设与所成的角为,AB MD θ(1,0,0),(1)AB MD ==- ∵ ,1cos ,23AB MD AB MD πθθ===⋅ A ∴∴与所成角的大小为∴AB MD 3π(2) 2),(2)OP OD =-=-∵设平面OCD 的法向量为,则∴(,,)n x y z =0,0n OP n OD ==A A 即 2020y z x y z -=⎪+-=⎪⎩取,解得z =(0,n =设点B 到平面OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,d d OB(0,n =, .(1,0,2)OB =-∵23OB n d n ⋅==∴所以点B 到平面OCD 的距离为232．（2008安徽理）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，O ABCD -ABCD , , ,为的中点，为的中点。

4ABC π∠=OA ABCD ⊥、、2OA =M OA N BC （Ⅰ）证明：直线；MN OCD 、、‖（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

2． 方法一（综合法）（1）取OB 中点E ，连接ME ，NEME CD ME CD∴ 、‖A B ,A B ‖‖又,NE OC MNE OCD ∴ 、、、、‖‖MN OCD∴、、‖ （2）CD ‖A B , 为异面直线与所成的角（或MDC ∠∴AB MD 其补角）作连接,AP CD P ⊥、MP⊥⊥、、ABCD 、∵O A ∴C D M P ,4ADP π∠=∵∴D P=MD ==1cos,23DPMDP MDC MDPMDπ∠==∠=∠=∴所以与所成角的大小为AB MD3π（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作AB、、∵∴‖O C D,于点Q，AQ OP⊥,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD⊥⊥⊥⊥、、∵∴∴又,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离,AQ OP AQ OCD⊥⊥、、∵∴OP====∵AP DP==，所以点B到平面OCD的距离为23OA APAQOP===A∴23方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系AP CD⊥,,x y z, (0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B P D O M N(1)(11),2),(2)MN OP OD=-=-=-设平面OCD的法向量为,则(,,)n x y z=0,n OP n=A A即2020y zx y z-=⎪+-=⎪⎩取,解得z=(0,n=(11)(0,0MN n=-=A A∵MN OCD∴、、‖(2)设与所成的角为,AB MDθ(1,0,0),(1)AB MD==-∵,与所成角的大小为1cos,23AB MDAB MDπθθ===⋅A∴∴AB MD3π(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值,d d OB(0,n=由, 得.所以点B到平面OCD的距离为(1,0,2)OB=-23OB ndn⋅==23 3．（2008北京文）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP =BP =AB ，PC ⊥AC .（Ⅰ）求证：PC ⊥AB ；（Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小.3．解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD ，CD .∵AP =BP ，∴PD ⊥AB .∵AC =BC .∴CD ⊥AB .∵PD ∩CD ＝D .∴AB ⊥平面PCD .∵PC 平面PCD ，⊂∴PC ⊥AB .（Ⅱ）∵AC =BC ,AP =BP ,∴△APC ≌△BPC .又PC ⊥AC ，∴PC ⊥BC.又∠ACB＝90°，即AC ⊥BC ，且AC ∩PC =C ，∴AB ＝BP ，∴BE ⊥AP .∵EC 是BE 在平面PAC 内的射影，∴CE ⊥AP .∴∠BEC 是二面角B -AP-C 的平面角.在△BCE 中，∠BCE =90°,BC=2,BE =，623=AB ∴sin ∠BEC =.36=BE BC ∴二面角B -AP -C 的大小为aresin.36解法二：（Ⅰ）∵AC =BC ,AP =BP ,∴△APC ≌△BPC .又PC ⊥AC .∴PC ⊥BC.∵AC ∩BC =C ,∴PC ⊥平面ABC .∵AB 平面ABC ，⊂∴PC ⊥AB .(Ⅱ)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C （0，0，0），A （0，2，0），B （2，0，0）.设P （0，0，t ）,∵｜PB ｜=｜AB ｜＝2，2∴t =2,P (0,0,2).取AP 中点E ，连结BE ，CE .∵｜AC ｜=｜PC ｜,｜AB ｜=｜BP ｜,n ga re ∴CE ⊥AP ,BE ⊥AP .∴∠BEC 是二面角B-AP -C 的平面角.∵E (0,1,1),),1,1,2(),1,1,0(--=--=EB EC ∴cos ∠.33622=⋅EBEC ∴二面角B-AP-C 的大小为arccos.334．（2008北京理）如图，在三棱锥中，，，P ABC -2AC BC ==90ACB ∠=，．AP BP AB ==PC AC ⊥（Ⅰ）求证：；PC AB ⊥（Ⅱ）求二面角的大小；B AP C --（Ⅲ）求点到平面的距离．C APB 4．解法一：（Ⅰ）取中点，连结．AB D PD CD ，，AP BP = ．PD AB ∴⊥，AC BC = ．CD AB ∴⊥，PD CD D = 平面．AB ∴⊥PCD 平面，PC ⊂ PCD ．PC AB ∴⊥（Ⅱ），，AC BC = AP BP =．APC BPC ∴△≌△又，PC AC ⊥．PC BC ∴⊥又，即，且，90ACB ∠=AC BC ⊥AC PC C = 平面．BC ∴⊥PAC 取中点．连结．AP E BE CE ，，．AB BP = BE AP ∴⊥是在平面内的射影，EC BE PAC ．CE AP ∴⊥是二面角的平面角．BEC ∴∠B AP C --在中，，，，BCE △90BCE ∠=2BC =BE AB ==．sin BC BEC BE ∴∠==二面角的大小为．∴B AP C --（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，AB ⊥PCD 平面平面．∴APB ⊥PCD 过作，垂足为．C CH PD ⊥H 平面平面，APB PCD PD =AC B DPA CBE PA BD PHll平面．CH∴⊥APB的长即为点到平面的距离．CH∴C APB由（Ⅰ）知，又，且，PC AB⊥PC AC⊥AB AC A=平面．PC∴⊥ABC平面，CD⊂ABC．PC CD∴⊥在中，，Rt PCD△12CD AB==PD PB==．．2PC∴==PC CDCHPD∴==A点到平面∴C APB解法二：（Ⅰ），，AC BC=AP BP=．APC BPC∴△≌△又，PC AC⊥．PC BC∴⊥，AC BC C=平面．PC∴⊥ABC平面，AB⊂ABC．PC AB∴⊥（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．C C xyz-则．(000)(020)(200)C A B，，，，，，，，设．(00)P t，，，PB AB==，．2t∴=(002)P，，取中点，连结．AP E BE CE，，，AC PC=AB BP=，．CE AP∴⊥BE AP⊥是二面角的平面角．BEC∴∠B AP C--，，，(011)E，，(011)EC=--，，(211)EB=--，，．cosEC EBBECEC EB∴∠===AA二面角的大小为．∴B AP C--（Ⅲ），AC BC PC==在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距C∴APB APB△H CH C APB离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．C xyz-，2BH HE=点的坐标为．．∴H222333⎛⎫⎪⎝⎭，，CH∴=y点到平面∴C APB 5． (2008福建文) 如图，在四棱锥中，侧面PAD ⊥底面ABCD,侧棱,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD,AB ⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点。