高 二 年级 数学 学科
一、空间向量的数量积坐标运算
1.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z
轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++
，则称有序实数组{,,}x y z 为
向量a 的坐标，记着p =
.
2．空间向量的直角坐标运算
（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++
，
112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈
， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---
．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

2．数量积：即 ⋅=332211b a b a b a ++
3
．夹角：cos ||||a b
a b a b ⋅⋅==⋅
4．模长公式：若123(,,)a a a a =
，则||a == ．
5．平行与垂直：
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈
00332211=++⇔=⋅⇔⊥b a b a b a
6．距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，
则||AB == ，
或,A B d =
【典型例题】例1 如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b ==
， OC c = ，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，则MN =
.
例2 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,1,2,ABC CB CA AA ∠=︒===点M 是1CC 的中点，
求证：1AM BA ⊥.
变式：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使得1MN AB ⊥
例3 已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积．
例4 已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,2)C ，求满足//DB AC ，//DC AB 的点D 的坐标．
二、用向量讨论垂直与平行
1、理解直线的方向向量和平面的法向量； 2．能用向量方法判断空间线面垂直关系。

设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下结论
【典型例题】
例1 在正方体1111D C B A ABCD -中，
求证：1DB 是平面1ACD 的法向量
例 2.已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =- ，(4,2,0)AD =
，(1,2,AP =--
（1）求证：AP
是平面ABCD 的法向量；
（2）求平行四边形ABCD 的面积．
例3．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F
.
(1)证明PA ∥平面EDB ； (2)证明PB ⊥平面EFD ．
例4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱DD1上是否存在点P，使得平面APC1 平面ACC1？证明你的结论．例5 如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a
2,点E在PD上，且PE:ED=2:1.
（I）证明PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.
B
D。