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§3.1 线性过程
• 在正式讨论线性过程之前，我们首先给出 相应的准备工具，介绍延迟算子和求解线 性差分方程，这些工具会使得时间序列模 型表达和分析更为简洁和方便，下面是延 迟算子的概念。 • 设 B 为一步延迟算子，如果当前序列乘以 一个延迟算子，就表示把当前序列值的时 间向过去拨一个时刻，即 BX t X t 1 。
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3.1.1线性过程的定义
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• 定理3.1 定义（3.1）中的线性过程是平稳 序列，且 G 是均方收敛的。
j j t j
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• 下面证明序列{ X t , t Z } 是平稳的，容易计 算 EX G E 0
• 在应用时间序列分析去解决实际问题时， 所使用的线性过程是因果性的，即：
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• 设 B 为一步延迟算子， B j X t X t j ， j 0 ，(3.4)可表为： 则
G( B) G j B j ，今后将把 G (B)看作对 t 其中，

进行运算的算子，又可作为 论。
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• 特征根1 , 2 ,, p 为互不相同的实根 这时齐次线性差分方程的解为 t zt c11t c p p • 特征根 1 , 2 ,, p 中有相同实根 这时齐次线性差分方程的解为
t t zt c1 c2t 2 cd t d 1 1t cd 1d 1 c p p
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• 延迟算子B 有如下性质：
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t
• 定义如下形式方程为序列{zt : t 0, 1, 2,} z 的线性差分方程：t 1 zt 1 p zt p h t h 其中 p 1， 1 , , p 为实数， t 为 t 的已 知函数。 • 特别地，当函数 h t 0 时，差分方程：
t
t
t
( B)
t
1 B
j 1 j
p
t
部分分式展开得到 X
t
1
1 B
j j 1
p
t
j 1
p
kj 1 j B
t
其中 k1 , , k p 为任意实数。
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§3.3 移动平均过程MA(q)
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在一阶自回归AR(1)模型中，保持其平稳性 的条件是对应的特征方程 0 的根的绝对值必须小于1，即满足 1 。 对于平稳的AR(1)模型，经过简单的计算易 得
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3.2.2 二阶自回归过程AR(2)
• 当变量当前的取值主要与其前两时期的取 值状况有关，用数学模型来描述这种关系 就是如下的二阶自回归模型AR(2)： • 引入延迟算子 B 的表达形式为：
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3.4.2 模型的因果性和格(Green)函数
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对于零均值的模型，则ARMA(p,q)模型 ( B) X t ( B) t可表示为：
G 由部分分式展开，(B)可表为
G ( B) 1 ( B)( B) G j B j
j 0

比较两边B的同次幂系数，得到：
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• 3.5.2偏自相关系数及其特征 在对前面平稳时间序列的分析中，我们看 到对于MA(q)过程，其自相关系数具有q阶 截尾性，由此我们可以通过计算序列的自 相关系数大致判断出模型的阶数。但是， 对于平稳的自回归模型AR(p)来说，由于 自相关系数不具有截尾性，因此我们无法 利用序列的自相关系数来判断模型的阶数， 我们希望找到一种类似地系数，使得对自 回归模型AR(p)来说也具有截尾性。
zt 1 zt 1 p zt p 0
称为齐次线性差分方程。否则，线性差分 方程称为非齐次线性差分方程。
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下列方程：
1
p
p 1
p 0
称为齐次线性差分方程的特征方程。这是 一个一元p次线性方程，它至少存在p个非 零根，称这p个非零根为特征根，记 为 1 , 2 , , p 。 根据特征根 1 , 2 ,, p 的情况，齐次线性 差分方程解的解有如下情形：
t
k EX t X t k
E G j t j Gl t k l l j
j
j
t j
2
j
GG
j

j k
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3.1.2 线性过程的因果性和可逆性
• 3.3.1一阶移动平均过程MA(1)
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• 图3.2为一个零均值的MA(1)序列200个模拟 数据。
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• 类似于自回归模型的平稳性讨论，与移动 平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。 对于零均值的MA(1)序列
X t t t 1
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j 0
B 的函数来讨
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在理论研究和实际问题的处理时，通常还需要用 t时刻及t时刻以前的 X t j ( j 0,1,) 来表示白噪声 t ，即
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§3.2 自回归过程AR(p)
• 上节中所讨论的线性过程及其逆转形式都 是无穷和的形式，当用有限和去逼近时即 产生有限参数线性模型，而且许多平稳序 列本身就是由有限参数线性模型刻画的。 有限参数线性模型是时间序列分析中理论 最基础、应用最广泛的部分。如下将讨论 AR、MA和ARMA三种有限参数线性模型。
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• 例3.10 求ARMA(2,1)模型的逆函数。
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§3.5 自相关系数与偏相关系数
• 3.5.1自相关系数及其特征
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• 满足条件(3.16)和(3.17)式给出的区域
,
1 2
2
1 1, 2 1

称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角 形区域，见下图阴影部分。
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X • 例3.2 设AR(2)模型：t 0.7 X t 1 0.1X t 2 t 试判别 X t 的平稳性。 解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以 通过两种径进行讨论：
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• 下面我们讨论序列的统计特性，关于平稳 的二阶自回归模型AR(2)模型：
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3.2.3 p阶自回归过程AR(p)模型
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• 首先，求对应齐次差分方程 ( B) X t 0 的通解 X t 。 p 1 p 1 p 0 假定其对应特征方程 的p个特征根为1 , 2 ,, p ，根据前面的讨 论，一般地，这p个特征根可能有如下情形：
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•
再求非齐次差分方程 ( B) X t t 的一个 特解 X t 。
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• 由此，自回归系数多项式可以写为 p
( B ) 1 j B
j 1
因此，我们可以得到非齐次差分方程( B) X 的一个特解 X 1 1
• 特征根1 , 2 ,, p中有复根 这时齐次线性差分方程的解为 t t
zt c11 c p p
t r t c1eit c2eit c33t c p p
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• 对于非齐次线性差分方程解的问题，通常 分下下列两个步骤进行：首先求出对应齐 次线性差分方程的通解 z t ，然后再求出该 非齐次线性差分方程的一个特解 zt ，即 zt z 满足： t 1 zt1 p zt p h t • 则非齐次线性差分方程zt 1 zt 1 p zt p h t 的解为对应齐次线性差分方程的解 zt 和该 非齐次线性差分方程的一个特解 zt 之和， 即 zt zt zt
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