中心化的AR(2)模型： X t1X t 12X t 2t
非中心化的AR(2)模型：X t c1 X t 12 X t 2t
其中εt为随机扰动，一般为零均值的白噪声序列。
AR(2)模型的平稳性条件
X t c1 X t 12 X t 2t
平稳条件：对应齐次差分方程的特征根在单位圆内
对应齐次差分方程的特征多项式
其根互 为倒数
() p 1p 1 2p 2 L p
AR模型平稳性判别方法
特征根判别
AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位 圆内
根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质， 等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在 单位圆外
AR(1)模型：一阶自回归模型
描述这种关系的数学模型就是一阶自回归模型，简 记为AR(1)，即
Xt 1Xt1t
其中Xt为零均值(即中心化处理 后的)平稳序列。φ1为Xt对Xt-1的 依赖程度,εt为随机扰动，一般 为零均值的白噪声序列。
AR(1)的中心化变换
一般情形： Xt c1Xt1t
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t )
非齐次线性差分方程的通解 zt
齐次线性差分方程的通解 z 程的特解 z t 之和
t
和非齐次线性差分方
zt ztzt
一阶差分方程
yt yt1t
P33
用递归替代法解差分方程：假设已知y-1和ω的各期
复根场合 z t r t( c 1 e i t c 2 e i t ) c 3 t 3 c p t p
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t )
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解
非中心化的MA(q)模型：
X t t 1 t 1 2 t 2 L q t q ,t: W N 0 ,2
引进延迟算子， MA(q)模型又可以简记为：
Xt (B)t
q阶移动平均系数多项式：
(B ) 1 1 B 2 B 2 L q B q
MA(q)模型的统计性质
特征方程： 212 0
特征根:
1 12 42
2
AR(2)模型平稳
1
AR(2)模型的平稳性条件
平稳域 AR(2)平稳性判别：
特征根 平稳域
1 ,22 1 ， 且 2 1 1
考察下列模型的平稳性：
(3 )X tX t 1 0 .5 X t 2t
(4 )X t X t 1 0 .5 X t 2t
ω将对系统产生持久性影响。
线性过程
定义：{Xt}称为线性过程，若 Xt Gjt j ，其中
j
{εt}是白噪声序列，系数序列{Gj}满足
G
2 j
。
j
系统是因果性的：若系数序列Gj满足Gj=0, j<0，即
Xt Gj tj G0 t G1 t1L j0
◦ 定理3.1：线性过程肯定是平稳过程，且是均方收敛的。
线性差分方程
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t )
齐次线性差分方程
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p 0
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 L a p z t p 0
X t t 1 t 1 2 t 2 L q t q ,t: W N 0 ,2
常数均值：模型两边求期望可得
EX t
常数方差：
varXt vart1t1Lqtq
1122 2Lq 2
2 a
【注】MA(q)模型一定为平稳模型。
MA(q)模型的可逆性
可逆MA模型定义
序列的期望和方差如何求？
AR(p) 模型：一般自回归模型
中心化的AR(p)模型：
Xt 1Xt12Xt2 L pXtp t
t : WN 0,2
EXs t 0, st
说明当前期的随 机扰动与过去的
序列值无关
非中心化的AR(p)模型：
X t c 1 X t 1 2 X t 2 L p X t p t
用ARMA模型去近似地描述动态数据在实际应用 中有许多优点，例如它是线性模型，只要给出少 量参数就可完全确定模型形式；另外，便于分析 数据的结构和内在性质，也便于在最小方差意义 下进行最佳预测和控制。
线性过程
方法性工具
这些工具会使得时间序列模型表达和分析更为简 洁和方便。 延迟算子 线性差分方程
引进延迟算子，ARMA(p,q)模型又可以简记为 ：
(B )Xt c (B )t
p阶自回归系数多项式：
( B ) 1 1 B 2 B 2 L p B p
q阶移动平均系数多项式：
( B ) 1 1 B 2 B 2 q B q
AR、MA和ARMA之间的关系
ARMA(p,q)模型： X t c 1 X t 1 L p X t p t 1 t 1 L q t q
yt yt1t P33
动态乘子(动态乘子为输入ω对输出yt的影响)
yt t 或ytj j
0
t
当0<φ<1，动态乘子按几何方式衰减到零；当-1<φ<0，动 态乘子振荡衰减到零；
当φ>1，动态乘子指数增加；当φ<-1，动态乘子发散性振 荡；
当︱φ︱<1，动态系统稳定，即给定的ω的影响将逐渐消 失；当︱φ︱>1，动态系统发散；当︱φ︱=1，输入变量
若一个MA模型能够表示成无穷阶的自回归模型，则称 该MA模型称为可逆的。
例：（1）Xt t 2t1 （2）Xt t 0.5t1
（1）Xt 12Bt （2）Xt 10.5Bt
（ 1 ） t 1/12BXt
（ 2） t 1/10.5BXt 0.5BnXt 0.5nXtn
n0
n0
ARMA模型
自回归移动平均模型
Autoregressive-Moving Average Model
ARMA模型的背景
一个系统，如果它在t时刻的响应 Xt 不仅与其以前 时刻的响应有关，而且还与其以前时刻进入系统的 扰动存在着一定的相关关系，那么这个系统就是自 回归移动平均系统，相应的模型记作ARMA模型。
在此模型下，一个影响系统的扰动εt 被“牢记”一 定时期，从而影响系统的后继行为。正是系统的这 种动态性，引起了时间序列中的依存关系，从而决 定了序列中的依存关系不能用普通静态回归模型来 描述，而只能用ARMA模型。
此时
EXt
c
11
0
中心化：令Yt=Xt- ，Yt即为Xt的中心化序列，
此时有
E Yt 0
AR模型平稳性的判别
判别原因
AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一， 但并非所有的AR模型都是平稳的。
判别方法
特征根判别法
AR(1)模型的平稳性条件
Xt c1Xt1t
平稳条件：对应齐次差分方程的特征根在单位圆内
X t 1 X t 1 2 X t 2 L p X t p t
AR(p) 的自回归系数多项式
引进延迟算子，中心化的AR(p)模型又可以简记为
(B)Xt t
其 中 (B)11B2B2LpBp
自回归系数多项式
( u ) 1 1 u 2 u 2 L p u p
Average Model)
AR(p)模型：p 阶自回归模型
AR(1)模型的背景
如果时间序列是独立的，没有任何依赖关系，这样 的资料所揭示的统计规律就是事物独立的随机变动， 系统无记忆能力。如果情况不是这样，资料之间有 一定的依存性，那么最简单的关系就是后一时刻的 行为主要与其前一时刻的行为有关，而与其前一时 刻以前的行为无直接关系，即已知Xt-1，Xt主要与 Xt-1相关。用记忆性来说，就是最短的记忆，即一 期记忆，也就是一阶动态性。
值
y t t 1 y 1 t 0 t 11 L t
动态乘子
yt t 或ytj j
0
t
动态乘子为输入ω对输出yt的影响，依赖于j，即输入ωt
和输出yt+j观察值之间的时间间隔。
当参数φ取不同的值，系统最后的状态也不同。
一阶差分方程 y t t 1 y 1 t 0 t 11 L t
延迟算子
定义：设B为一步延迟算子，如果当前序列乘以
一个延迟算子，就表示把当前序列值的时间向过
去拨一个时刻，即 BXt=Xt-1。
性质： B0 1
B(c
X
t
)
c
B(
X
t
)
c
X
t
1,
c为任意常数
B(
Xt
Yt
)
X t 1
Yt1
(1
B)n
n
(1)i Cni Bi
Bn Xt
i0
Xtn
线性差分方程
线性过程的因果性
在应用时间序列分析去解决实际问题时，所使用 的线性过程是因果性的，即：
X t G j tjtG 1t 1 L且G 2 j
j 0
j 0
用延迟算子表示：
Xt
GjBj
t
GBt
j0
条件： G j j0
线性过程逆转形式
用t时刻及其以前时刻的Xt-j(j=0,1, …)来表示白噪声
当p=0时，ARMA(p,q) 模型就退化为MA(q)模型； 当q=0时，ARMA(p,q) 模型就退化为AR(p)模型； AR(p)模型和MA(q) 模型实际上是ARMA(p,q)模型
MA(1)模型：一阶移动平均模型
如果一个系统在t时刻的响应Xt仅与其前一时刻进入系 统的扰动εt-1存在着一定的相关关系，描述这种关系的 数学模型就是一阶移动平均模型，记作MA(1)，即