讨论： 1. q(x)=0 该梁段内FQ(x)=常数。故剪力图是平行于x轴的直线； 弯矩是x的一次函数，弯矩图是斜直线。
剪力为正，弯矩图向下倾斜；剪力为负，弯矩图向上倾斜。
2. q(x)=常数
该梁段内FQ(x)为线性函数。故剪力图是斜直线； 弯矩是x的二次函数，弯矩图是二次抛物线。
q(x)为正，剪力图向上倾斜，弯矩图为上凸曲线；q(x)为负，剪力图 向下倾斜，弯矩图为下凸曲线。
q(x)
得
dFQ(x) dx =q(x)
M(x) M (x) +dM (x) C
∑MC=0
FQ(x) FQ (x) +dFQ (x) dx
M(x)+FQ(x)dx-[M(x)+dM(x)]+q(x)dx
dx 2
=0
dM(x)=FQ(x)dx
得
dM(x) dx =FQ(x)
从而
d2M(x) dx2 =q(x)
例7 作如图所示外伸梁的剪力图和弯矩图。
12 3 12 3
4 56 4 56
解：
FAy
FRB
1.求支座反力
FAy 72kN
FQ
FQ
+ FQ FQ -
弯矩:作用于横截面上的弯矩使研究对象产生下凸趋势的为 正,反之为负。
M
M
M
M
+
-
例1 求解图示梁指定截面的内力。
y
q = 2kN/m
A1
2
3
MA
1
2m
2
3
1m 1m
B
x
FAy
解： 1.求支座反力 FAy 4kN
2.求截面内力
M A 12kN m
解： 1.求支座反力 此题可否不求解约束力?
q
A
M (x) ql x qx x 1 qlx 1 qx2
2
22 2
l
(0 x l)
3.画剪力图、弯矩图
FQ
ql 2
+
+
M
ql 2
8
B
x
—
ql 2
x
例4 一简支梁受集中荷载作用，如图所示。试列出剪力方 程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。
aF
b
A
B
C
x
FAy
l
FRB
解： 1.求支座反力 2.列剪力方程、弯矩方程 3.画剪力图、弯矩图
FAy 4kN
M A 12kN m
2.求截面内力
1-1截面 2-2截面
FQ1 4kN M1 12kN m FQ2 4kN
M 2 M A FAy 2 4kN m
3-3截面
FQ3 2kN
A 1FQ1
x
MA 1 M1 FAy
A1
MA 1
FQ2
2
x
2 M2
FAy A1
MA 1
q = 2kN/mFQ3
HOHAI UNIVERSITY
工程力学材料力学弯矩计算演 示文稿
1
HOHAI UNIVERSITY
（优选）工程力学材料力学弯 矩计算.
2
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
工程中绝大多数梁都有一纵向对称面，且外力均作用在此面内， 此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线，梁发生平面弯 曲。平面弯曲是杆件的一种基本变形。
2
3
x
2
3 M3
M3 M A FAy 3 q 1 0.5 1kN m
FAy
例2 求解图示梁指定截面的内力。
F M = 4Fa
A1
1
23 23
45 45
B
a
a
a
解： 1.求支座反力 2.求截面内力
第十七次课结束处
作业题： 求A截面右侧、C截面左侧和右侧的内力。
aF
b
q
A
B
C
l
§5-3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图
M
M
M
M
+
-
截面法
F1 a
m
A
m
x
F2 B
y a F1 FQ
m
A
c
x
xm M
FRA
1). 梁上任一横截面 上的剪力，在数值上 等于该截面一侧所有 外力沿横截面方向投 影的代数和。
2). 梁上任一横截面 上的弯矩，在数值 上等于该截面一侧 所有外力对该截面 形心力矩的代数和。
剪力:作用于横截面上的剪力使研究对象有顺时针转动趋势的为 正,反之为负。
§9-4 弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系
设一段梁受力如图 x处取微段dx，微段受力如图
F
A x
q(x)
q(x)
M(x) M (x) +dM (x)
x
CBdx源自FQ(x) FQ (x) +dFQ (x)
dx
由该微段的平衡方程
∑Fiy=0 即
FQ(x)-[FQ(x)+dFQ(x)]+q(x)dx=0
dFQ(x)=q(x)dx
q
A
B
x
FAy
l
FRB
解： 1.求支座反力 FAy ql / 2
FRB ql / 2
2.列剪力方程、弯矩方程
x截面
FQ (x) ql / 2 qx (0 x l)
M (x) ql x qx x 1 qlx 1 qx2
2
22 2
(0 x l)
FQ (x) ql / 2 qx (0 x l)
一、剪力方程和弯矩方程 将各截面的剪力和弯矩表示为截面位置的函数
FQ=FQ(x) 剪力方程 M=M(x) 弯矩方程
二、剪力图和弯矩图： 以平行于梁轴线的坐标轴为x轴,表示横截面的位置；以垂直
于梁轴线的坐标轴为FQ轴或M轴,FQ以向上为正，M以向下为 正，画出的图形称为剪力图或弯矩图。
例3简支梁受均布荷载作用，如图所示。试列出剪力方程 和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。
F1 q F2
A
F1
F2
A
F
q
A B
16.5
A B
q(x)
B B
C
§9-2 弯曲内力 ——剪力和弯矩
1.剪力用FQ表示,单位N, kN。 弯矩用M表示,单位N·m, kN·m。
2.符号规定:
剪力:作用于横截面上的剪力使研究对象有顺时针转
动趋势的为正,反之为负。
FQ
FQ
+ FQ FQ -
弯矩:作用于横截面上的弯矩使研究对象产生下凸趋 势的为正,反之为负。
aF
b
A
B
C
l
FQ
bF l
+
x
—
aF l
x
+
M
ab F
l
例5 一简支梁受均布荷载及集中荷载作用，如图所示。试 列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。
aF
b
q
A
B
C
x
l
17.5
例6 一简支梁受集中力偶作用，如图所示。试列出剪力方 程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。
a
b
M
A
C
B
x l
分段点：集中力、集中力偶、分布荷载起止，剪力方程、弯 矩方程要分段；剪力图、弯矩图有突变，为控制截面处。由 此可见剪力图、弯矩图与荷载图之间存在一定的关系。
Me q(x)
F
梁的分类： 按梁的支承情况，梁有三种基本形式。
静定梁： 可由静力 平衡方程 求出所有 支座反力 的梁。
1.简支梁：一端为固定铰支座，另一端为 可动铰支座的梁。
2.外伸梁：简支但一端或两端具有外伸部 分的梁。
3.悬臂梁：一端固定，另一端为自由的梁。
超静定梁：仅用静力平衡方程不能求出全部支座反力的梁。 梁两支座间的距离称为跨度，其长度称为跨长。