三垂线定理
周口市第三高级中学 王杰
教学目标
三垂线定理是反映三种垂直关系的定理。

要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，并据此
能够进行推理，论证和解决有关问题。

进一步提高学生利用数学知识解决实际问题的能力。

教学重难点
三垂线定理及其逆定理的理解和应用
教学方法
启发式教学法
依知识点的形成过程，实际问题的分析过程，启发学生寻求证明的途径，解决问题的
思路。

教学过程
引例：
如图，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC=90°，求证：BC ⊥PB 。

证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC 在平面ABC 内， ∴PA ⊥BC ，又∠ABC=90°， ∴BC ⊥AB
∴BC ⊥平面PAB ，PB 在平面PAB 内 ∴BC ⊥PB
思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？
（2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。

线线垂直的方法 ：
（1）a ⊥∂ ,b 在∂内，则a ⊥b
（2）a ∥b ，m ⊥b ，则a ⊥m
（3）三垂线定理及其逆定理
三垂线定理包含几种垂直关系？
○
1线面关系 ○2线射垂直 ○3线斜垂直 定理
直线和平面垂直 平面内的直线和平面 平面内的直线和平
的一条斜线射影垂直 面的一条斜线垂直
逆定理
三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，
它就和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那
么，它也和这条斜线的射影垂直。

B
例1： 如图所示，已知PA ⊥平面ABC ，∠ACB= 90°， AQ ⊥PC ，AR ⊥PB ，试
证∆PBC 、 ∆PQR 为直角三角形。

证明：∵PA ⊥平面ABC ，∠ACB= 90°∴AC ⊥BC
∵AC 是斜线PC 在平面ABC 的射影 ∴BC ⊥PC
∴∆PBC 是直角三角形；∴BC ⊥平面PAC ∵AQ 在平面PAC 内，∴BC ⊥AQ ，又PC ⊥AQ ，
∴
AQ ⊥平面PBC ，∴QR 是AR 在平面PBC 的射影
又AR ⊥PB ，∴QR ⊥PB （三垂线逆定理），
∴∆PQR 是直角三角形。

小结： 凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质来证明，
而我们的目标应该是能够熟悉这两个定理的直接应用。

例2. 在四面体ABCD 中，已知AB ⊥CD
，AC ⊥BD 求证：AD 证明：作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接BO ，CO ，DO
则BO ，CO ，DO 分别为AB ，AC ，AD 在平面BCD 上的射影。

∵AB ⊥CD ，∴BO ⊥CD ，同理CO ⊥BD 于是O 是△BCD 的垂心，
∴DO ⊥BC ，于是AD ⊥BC.
小结：运用三垂线定理及逆定理，必然要找出斜线，及作出该斜线在平面内的射影.
例3 . 如图，已知DB 、EC 都垂直于正三角ABC 所在的平面，，BC=EC=2DB ， 求平面ADE 与平面ABC 所成二面角的平面角。

解：延长ED 、BC 交于F ，连AF ，则AF 为二面角的棱
由已知DB 、EC 都垂直正三角ABC ，∴ DB//EC
又BC=EC=2DB ∴ FB=BC=AB ，∴ ∆FAC 为直角三角形，且FA ⊥AC 而EC ⊥平面ABC ∴ AF ⊥AE （三垂线定理） 于是∠EAC 为平面ABC 与平面ADE 的平面角，
又EC=AC ，∴ ∠EAC= 45° ∴ 二面角的平面角为45°。

思考：本题还可以用什么方法求二面角的平面角？
（ 用 c o s ABC ADE s S θ∆∆= ） 小结：求二面角往往是作出二面角的平面角，先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在
二面角的两个半平面上作棱的两条垂线以找到平面角，从而转化为平面问题来解决。

作二面角的平面角常用的方法有（1）定义法（2）三垂线定理法（3）作垂面法。

此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。

学习空间向量之后,我们还有另外的方法来求二面角,例如法向量法等.
例4： 直角三角形ABC 中，∠B= 90°，∠C= 30°，D 是BC 的中点，AC=2， DE ⊥平面ABC 且DE=1，求E 到斜线AC 的距离？ 解：过点D 作DF ⊥AC 于F ，连结EF ，
∵DE ⊥平面ABC ，由三垂线定理知EF ⊥AC
即E 到斜线AC 的距离为EF
在Rt ∆ABC 中， ∠B= 90°，∠C= 30°，C=2
A
∴
2CD ∴= ∵DF ⊥AC ，
∴4
CD = 在Rt ∆EDF 中
4EF =
为所求 小结：求点到直线的距离，常运用三垂线定理（或逆定理）把垂线段作出，按“一作、二证、三计算”的步骤求解。

方法规律 三垂线定理及其逆定理的应用：
（1）证明两条异面直线垂直；
（2）确定二面角的平面角；
（3）确定点到直线的垂线段。

运用定理时要习惯非常规位置图形上的应用，不能只习惯于水平放置的平面上运用。

能力拓展：
过Rt ∆BPC 的直角顶点P 作线段PA ⊥平面BPC ，求证： ∆ABC 的垂心H 是P 点在
平面ABC 内的射影。

证明：∵H 是∆ABC 的垂心，连结AH 延长交BC 于D
连结BH 延长交AC 于E ，∴AD ⊥BC ，BE ⊥AC
∵AP ⊥平面PBC ，∴BC ⊥PD ，AD ∩PD=D ∴BC ⊥平面ADP ，∴BC ⊥PH
又AP ⊥面PBC ，∴AP ⊥PB ，由已知BP ⊥PC ，∴PB ⊥面APC
又BE ⊥AC ，∴PE ⊥AC ，∴AC ⊥面PBE ，∴PH ⊥AC ∵AC ∩BC=C ，∴PH ⊥面ABC
∴H 是P 点在平面ABC 的射影。

练习：
1. (1) PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点 求证：PO ⊥BD ，PC ⊥BD
(2) PA ⊥平面PBC ，PB=PC ，M 是BC 的中点， 求证：BC ⊥AM
(3) 在正方体1AC 中，求证：1AC ⊥11B D ，1AC
⊥1BC 2. 证明：果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。

作业：
1. 在正方体1AC 中，E 、G 分别是1AA 和1CC 的中点， F 在AB 上，且1C E ⊥EF ， 则EF 与GD 所成的角的大小为（ ）
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90°
2. 已知 PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的垂心。

3. 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么 斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。

4. 在ABCD —1111A B C D 中，求证：1AC ⊥平面1BC D
B。