PA2+PE2=
a
9+
-11-43-4
=
-21-3-2-9
15
思考：
a 如果把定理中的条a⊥AO与结
论a⊥PO互换，命题是否成立？
a
6
三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条 斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的 射影垂直。
P a
Ao α
用法：
∵PA⊥α， a α，
AO是斜线PO在平面 α内的射影， a⊥PO ∴ a⊥AO
说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
系如何？
a
4
结论：a⊥PO 为什么呢？
二、三垂线定理：
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
PA⊥α ①
aα
PA⊥a
AO⊥a
② a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
P
a
Ao α
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
a
8
三垂线定理
2、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，连结A1B ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC
再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20cm
A
B
90°
C
45°
D
a
12
∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC
三垂线定理
因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20cm ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(cm) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。
a
10
例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相
等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
A
αF
P
B E
O C
已知：∠BAC在平面α内，点在α外， PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥ α，垂足 分别是E、F、O，PE=PF
a
5
对三垂线定理的说明：
三垂线定理
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、
a(直线)之间的垂直关系。
2、a与PO可以相交，也可以异面。
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理。
用法：∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α
内的射影，a⊥AO ∴a⊥PO
P Ao α
三垂线定理
P
oa
α
A
a
1
复习提问：
1。直线与平面垂直的定义。 2。直线与平面垂直的判定定理。 3。证明线面垂直的方法。 4。证明线线垂直的方法。
a
2
一、射影的概念
定义：自一点P向平面α引垂线，垂足P1 叫做P
在平面α内的正射影（简称射影）。
如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图
形F1，则F1叫做图形F在这个平面内的射影。
PC=6，求点P到平面ABC的距离。
解: 作PH⊥平面ABC， P
连AH交BC于E，连PE
∵PA、PB、PC两两垂直
∴PA⊥平面PBC ∴PA⊥BC
AH为PA在平面ABC内的射影 A
H
C E
∴BC⊥AH
B
在Rt△PBC中，PE= -4-×--6-- = -1-2--
42+62
13
在Rt△APE中，AE=
A
B
90°
C
45°
D
a
13
小结
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。
1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”
a
14
三垂线定理
例4、设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，
求证：∠BAO=∠CAO
证明：连接PA，OE，OF∵ PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥ α，
∴AB⊥OE，AC⊥OF（三垂线定理的逆定理）
∵ PE=PF，PA=PA，∴Rt PAE≌RtPAF。
∴AE=AF又AO=AO∴，∴Rt AOE≌Rt AOF。
∴ ∠BAO=∠CAO
a
11
三垂线定理
例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，
.P
α
p1
思考：
1。两条异面直线在同一平面 内的射影的位置关系如何？
2。一个三角形在另一平面 中的射影可能是什么图形？
a
3
二、平面的斜线、垂线、射影
三垂线定理
PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α的垂线, A为垂足; AO是PO在平面α内的射影.
P
oa
如果a α, a⊥AO，
α
A
思考a与PO的位置关
直的重要方法。
a
7
例题分析： 1、判定下直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。
( ×)
强调：1°四线是相对同一个平面而言
2°定理的关键找“平面”这个参照学。
D
C
请同学思考：如何证明D1B⊥AB1 A 而AB1， AC相交于点A且都在平面
AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C a
B
9
三垂线定理
关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、 二射、三证。即