(5) 若ab 0,则 b a 2 （当仅当 a=b 时取等号） ab (6)a 0时，| x | a x2 a2 x a 或 x a; | x | a x2 a2 a x a
（7） 若a、b R,则 || a | | b ||| a b || a | | b |
（5） a b,c d a c b d （异向不等式相减）
（6） a. b,c 0 ac bc
（7） a b,c 0 ac bc （乘法单调性）
（8） a b 0,c d 0 ac bd （同向不等式相乘） (9) a b 0,0 c d a b （异向不等式相除）
2
2 3 27
② y x(1 x 2) y 2 2x 2(1 x 2)(1 x 2) 1 ( 2) 3 4 y 2 3
2
2 3 27
9
类似于 y sin x cos 2 x sin x(1 sin 2x) ，③| x 1 || x | | 1 | (x与 1同号，故取等) 2
x
当且仅当a1 a2 a3 an 时取等号
b1 b2 b3
bn
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x1, x2(x1 x2), 有
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 或 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
4.几个著名不等式 （1）平均不等式：
如果 a,b 都是正数，那么 2 ab a b a2 b2 .
11
2
2
ab
（当仅当 a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和
平均（a、b 为正数）：
特别地， ab ( a b) 2 a 2 b 2 （当 a = b 时， ( a b) 2 a 2 b 2 ab ）
2
极值定理：若 x, y R, x y S, xy P, 则：
○1 如果 P 是定值, 那么当 x=y 时，S 的值最小； ○2 如果 S 是定值, 那么当 x=y 时，P 的值最大.
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c R,则 a b c 3 abc （当仅当 a=b=c 时取等号） 3
（5）对数不等式：转化为代数不等式
f (x) 0
loga
f (x) loga
g(x)(a 1)
g(x)
0
;
f (x) g(x)
（6）含绝对值不等式
f (x) 0 loga f (x) loga g(x)(0 a 1) g(x) 0
f (x) g(x)
○1 应用分类讨论思想去绝对值；
高考数学不等式知识点总结及解题思路方法 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对 值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几 何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
cd
(10) a b, ab 0 1 1 （倒数关系）
ab
（11） a b 0 an bn (n Z,且n 1) （平方法则）
（12） a b 0 n a n b(n Z,且n 1) （开方法则）
3.几个重要不等式
（1） 若a R,则 | a | 0, a2 0
（2）若a、b R ,则a2 b2 2ab(或a2 b2 2 | ab | 2ab) （当仅当 a=b 时取等号） （3）如果 a,b 都是正数，那么 ab a b .（当仅当 a=b 时取等号）
f g
f
(x) (x)
(x)
0 0
[g
(
x)]2
或
f g
(x) (x)
0 0
○3
f
(x)
g(x)
gf ((xx))
0 0
f (x) [g(x)]2
（4）.指数不等式：转化为代数不等式
a f (x) ag(x) (a 1) f (x) g(x); a f (x) ag(x) (0 a 1) f (x) g(x) a f (x) b(a 0,b 0) f (x) lg a lg b
x
x
2
2
2
2
则称 f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造
法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.
特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论； ②一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
1 n2
1 1 1 (n 2) n(n 1) n 1 n
② n1 n
1
1
n n1 2 n
1
n n 1(n 1)
n n 1
（2）柯西不等式： 若a1, a2 , a3,, an R,b1,b2 ,b3 ,bn R;则
（a1b1 a2b2 a3b3 anbn )2 (a12 a22 a32 an2 )(b12 b22 b32 bn2 )
○2 应用数形思想；
○3 应用化归思想等价转化
|
f (x) |
g(x)
g
(x) g(x)
0
f (x)
g(x)
|
f (x) |
g(x)
g(x)
0(
f
(
x),
g
( x)不同时为 0)或 gf
(x) (x)
0
g(
x)或f
(x)
g(x)
注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：
① x(1 x) 2 1 2x(1 x)(1 x) 1 (2) 3 4
2
222Fra biblioteka2 b2 c2 a b c 2 (a,b, c R, a b c时取等)
3
3
幂平均不等式： a12
a22
...
an2
1 n
(a1
a2
...
an )2
注：例如： (ac bd ) 2 (a 2 b 2)(c 2 d 2 ) .
常用不等式的放缩法：① 1 1 1
n n 1 n(n 1)
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
f (x) 0 f (x)g(x) 0; g(x)
f (x) g(x)
0
f (x)g(x) g(x) 0
0
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解
○1
f (x)
g(x)
f (x)
g(x)
0
0
定义域
f
(x)
g(x)
○2
f
(x)
g(x)
§06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1）不等（等）号的定义：a b 0 a b;a b 0 a b;a b 0 a b. （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1） a b b a （对称性） （2） a b,b c a c （传递性） （3） a b a c b c （加法单调性） （4） a b,c d a c b d （同向不等式相加）