高中数学不等式专题教师版一、高考动态考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│二、不等式知识要点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.-=<⇔a<⇔=>-⇔>-ba0ba;;baabbab（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）a⇔>（对称性）a<bb（2）c⇒>a>>,（传递性）acbb（3）c+⇒>（加法单调性）a+>cabb（4）d>+⇒a+>,（同向不等式相加）>cbabcd（5）d-⇒>,（异向不等式相减）a-<>cbabdc（6）bc>0,.>accba>⇒（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈aa R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号）0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a ba b ++（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b时，222()22a b a b ab ++==）⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd abcd +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n nn n n n n n n n-==-≥++--p p1)n ==≥pp（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有 则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （3）无理不等式：转化为有理不等式求解 （4）.指数不等式：转化为代数不等式 （5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x xxx+=+≥与同号，故取等三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式a bab a b +≥>>200(，，当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。

对于有些题目，可以直接利用公式求解。

但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。

下面是一些常用的变形方法。

一、配凑 1. 凑系数例1. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。

解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2828x x +-=()为定值，故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。

当且仅当282x x =-，即x ＝2时取等号。

所以当x ＝2时，y x x =-()82的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

2. 凑项例2. 已知x <54，求函数f x x x ()=-+-42145的最大值。

解析：由题意知450x -<，首先要调整符号，又()42145x x --·不是定值，故需对42x -进行凑项才能得到定值。

∵x x <->54540， ∴f x x x x x()()=-+-=--+-+42145541543≤---+=-+=2541543231()x x ·当且仅当54154-=-x x，即x =1时等号成立。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

3. 分离例3. 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。

解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当x +>10，即x >-1时y x x ≥+++=214159()·（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

当x +<10，即x <-1时y x x ≤-++=521411()·（当且仅当x ＝－3时取“＝”号）。

∴y x x x x =+++271011()≠－的值域为(][)-∞+∞，，19Y 。

评注：分式函数求最值，通常化成y mg x Ag x B A m =++>>()()()00，，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

二、整体代换例4. 已知a b a b >>+=0021，，，求t a b=+11的最小值。

解法1：不妨将11ab+乘以1，而1用a ＋2b 代换。

当且仅当2b a a b =时取等号，由22121122b a ab a b a b =+=⎧⎨⎪⎩⎪=-=-⎧⎨⎪⎩⎪，得 即a b =-=-⎧⎨⎪⎩⎪21122时，t a b =+11的最小值为322+。

解法2：将11a b+分子中的1用a b +2代换。

评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到t b a a b =++32，而2b a 与ab的积为定值，即可用均值不等式求得t a b=+11的最小值。

三、换元例5. 求函数y x x =++225的最大值。

解析：变量代换，令t x =+2，则x t t y t t =-≥=+222021()，则当t ＝0时，y ＝0 当t >0时，y t tt t=+≤=121122124·当且仅当21t t=，即t =22时取等号。

故x y =-=3224时，max 。

评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。

四、取平方例6. 求函数y x x x =-+-<<21521252()的最大值。

解析：注意到2152x x --与的和为定值。

又y >0，所以022<≤y 当且仅当2152x x -=-，即x =32时取等号。

故y max =22。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

高中数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：基本不等式一、选择题1．若a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14B ．1C ．4D ．8 解析：由a ＞0，b ＞0，ln(a ＋b )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝4.当且仅当a ＝b ＝12时，上式取等号.答案：C2．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．9D ．16解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋x y ·a ＋yx ＋a .∵x ＞0，y ＞0，a ＞0，∴1＋ax y ＋yx＋a ≥1＋a ＋2a .由9≤1＋a ＋2a ，得a ＋2a －8≥0， ∴(a ＋4)(a －2)≥0.∵a ＞0，∴a ≥2，∴a ≥4，∴a 的最小值为4. 答案：B3．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋45x ＋m 的值域为R ，则m 的取值范围是( )A ．(－4，＋∞) B．[－4，＋∞) C ．(－∞，－4) D ．(－∞，－4]解析：设g (x )＝5x＋45x ＋m ，由题意g (x )的图像与x 轴有交点，而5x＋45x ≥4，故m ≤－4，故选D.答案：D4．当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，表达式3x＋27y＋1的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．1D ．7解析：方法一：由x ＋3y －2＝0，得3y ＝－x ＋2. ∴3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1＝3x ＋3－x ＋2＋1 ＝3x ＋93x ＋1≥23x ·93x ＋1＝7.当且仅当3x＝93x ，即3x ＝3，即x ＝1时取得等号．方法二：3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥23x ·33y ＋1＝232＋1＝7. 答案：D5．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112解析：∵2xy ＝x ·(2y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22， ∴原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0.又∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ≥4.当x ＝2，y ＝1时取等号． 答案：B6．(2013·苍山调研)已知x ＞0，y ＞0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：由lg2x ＋lg8y ＝lg2，得lg2x ＋3y ＝lg2.∴x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋x 3y ＋3yx≥4.答案：C 二、填空题7．设x 、y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y 2的最小值为__________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24＝9.当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立.答案：98．(2013·台州调研)若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a ＞1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为__________．解析：∵ab －4a －b ＋1＝0， ∴b ＝4a －1a －1，ab ＝4a ＋b －1.∴(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1 ＝6a ＋4a －1a －1·2＋1 ＝6a ＋[4a －1＋3]×2a －1＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.∵a ＞1，∴a －1＞0.∴原式＝6(a －1)＋6a －1＋15≥26×6＋15＝27.当且仅当(a －1)2＝1，即a ＝2时等号成立． ∴最小值为27. 答案：279．(2013·聊城质检)经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系：y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)，在该时段内，当车流量y最大时，汽车的平均速度v ＝__________千米/小时．解析：∵v ＞0， ∴y ＝920v ＋1 600v＋3≤9202v ·1 600v＋3＝92080＋3≈11.08， 当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40千米/小时时取等号.答案：40 三、解答题10．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1. 求证：1x ＋4y ＋9z≥36.解析：∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1，∴1x ＋4y ＋9z ＝(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋9x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4z y＋9y z ≥14＋2y x ·4xy ＋2 z x ·9xz＋2·4z y ·9yz＝14＋4＋6＋12＝36.当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时等号成立．∴1x ＋4y ＋9z≥36.11．某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽．解析：设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ， 中间的矩形区域面积为S m 2， 则半圆的周长为πy 2m.∵操场周长为400 m ，所以2x ＋2×πy 2＝400， 即2x ＋πy ＝400(0＜x ＜200,0＜y ＜400π)． ∴S ＝xy ＝12π·(2x )·(πy )≤12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋πy 22＝20 000π. 由⎩⎨⎧ 2x ＝πy ，2x ＋πy ＝400，解得⎩⎨⎧ x ＝100，y ＝200π.∴当且仅当⎩⎨⎧ x ＝100，y ＝200π时等号成立．即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大． 12．已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0.(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋y 的最小值．解析：(1)由x ＋y －3xy ＋5＝0，得x ＋y ＋5＝3xy .∴2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy .∴3xy －2xy －5≥0.∴(xy ＋1)(3xy －5)≥0.∴xy ≥53，即xy ≥259，等号成立的条件是x ＝y . 此时x ＝y ＝53，故xy 的最小值是259. (2)方法一：∵x ＋y ＋5＝3xy ≤3·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝34(x ＋y )2， ∴34(x ＋y )2－(x ＋y )－5≥0. 即3(x ＋y )2－4(x ＋y )－20≥0.即[(x ＋y )＋2][3(x ＋y )－10]≥0.∴x＋y≥103.等号成立的条件是x＝y，即x＝y＝53时取得．故x＋y的最小值为103.方法二：由(1)知，x＋y＋5＝3xy，且(xy)min＝259，∴3(xy)min＝253.∴(x＋y)min＝253－5＝103，此时x＝y＝53.。