全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷（本试卷共 4 页，满分 120 分，考试时间：3 月 22 日 8:30——10:30）题号一二 三总分（1—10）（11—18）1920得分一、选择题（本大题满分 50 分，每小题 5 分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内 题号12345678910答案1. 方程1 - 1 x = 0 的根是2009A. -12009B.1 C. -2009D. 200920092. 如果 a + b < 0 ，且b > 0 ，那么 a 2 与b 2的关系是A. a 2 ≥ b 2B. a 2 ＞ b 2C. a 2 ≤ b 2D. a 2 ＜ b 23. 如图所示，图 1 是图 2 中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图 1 中的线段 AB 在图 2 中的对应线段是A. k B ． h C ． e D ． d4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是 A ．75° B ．72° C ．70° D ．65°A图 2（第 3 题图）（第 4 题图）5. 已知2a =3，2b =6， 2c =12，则下列关系正确的是 ABCOB图 1y 2A. 2a = b + cB. 2b = a + cC. 2c = a + bD. c = 2a + b6. 若实数 n 满足 (n-2009 )2+ ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是 D.1 1B ． 2C ．0 D. -17. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A＞∠B＞∠C，则下列结论中错误的是 A ．∠A＞60°B ．∠C＜60°C ．∠B＞45°D ．∠B＋∠C＜90°8.有 2009 个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是 1，第二个数是-1，则这 2009 个数的和是 A ．-2B ．-1C ．0D ．29.⊙0 的半径为 15，在⊙0 内有一点 P 到圆心 0 的距离为 9，则通过 P 点且长度是整数值的弦的条数是 A ．5B ．7C ．10D ．12 10.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，记 p = 2a + b ， q = b - a ，则下列结论正确的是A ． p ＞ q ＞0B ． q ＞ p ＞0C ． p ＞0＞ qD ． q ＞0＞ p（第 10 题图）二、填空题（本大题满分 40 分，每小题 5 分）11. 已知 | x |=3， =2，且x + y ＜0，则 x y = . 1112. 如果实数 a , b 互为倒数，那么1 + a2 + 1 + b 2= .13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球 4 个，2绿球 6 个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为 5，那么，随机从中摸出一个黄球的概率为 .14.如图，在直线 y = -x + 3 上取一点 P ，作 PA ⊥ x 轴， PB ⊥ y 轴，垂足分别为 A 、B ，若矩形 OAPB 的面积为 4，则这样的点 P 的坐标是.15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E,F 分别在 AC 、AB 上，且AE=AF ，∠CDE=∠BAC，那么，图中长度一定与 DE 相等的线段共有条.AEFA FDFBDCBEC（第 14 题图）（第 15 题图）（第 16 题图）16.如图，等腰梯形 ABCD 中，AD//BC ，∠DBC=45°，折叠梯形 ABCD ，使点 B 重合于点D ，折痕为 EF ，若AD=2，BC=8，则 tan∠CDE=.17. 实数 x , y 满足2x 2 - 6x + y 2 = 0 ，设 w = x 2 + y 2 - 8x ，则 w 的最大值是 .18. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（10，0），点 B 的坐标为（8，0），点 C ，D 在以 OA 为直径的 半圆 M 上，且四边形 OCDB 是平行四边形，则点 C 的坐标为.三、解答题（本大题满分 30 分，每小题 15 分）19. 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用了 100 元，按该书定价 2.8 元出售，很快售完；由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高出 0.5 元，共 用了 150 元，所购得书的数量比第一次多 10 本；这批书按原定价售出 80%后，出现滞销，便以 5 折售完剩余的该图书. 试问：这个书店老板第二次售书是赔钱，还是赚钱？ 请通过计算说明（只与进价比较，不考虑其它成本）.20. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点 E 在 AC 上（点 E 与 A 、C 都不重合），点 F 在斜边 AB 上（点 F 与 A ，B 都不重合）（1） 若 EF 平分 Rt △ABC 的周长，设 AE= x ，△AEF 的面积为 y ，写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 x 的取值范围；（2） 试问：是否存在直线 EF 将 Rt △ABC 的周长和面积同时平B分，若存在，求出 AE 的长，若不存在，说明理由.CEA⎨ 2009 年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试题参考答案一、选择题：DBCAB ，CDADB提示：11．D ；由1 -2009x = 0 ， 得 12009x = 1, ∴ x = 20092．B ；由 a + b ＜0， b ＞0 知 a ＜0 且| a |＞| b |，所以| a |2＞| b |2，即 a 2＞ b 2； 3. C ；将图 1 中的平面图折成正方体4. A ；延长 CO 交于⊙O 于D ，连结 AD ，则∠D=∠B=15°，因为 CD 为⊙O 的直径，所以∠CAD=90°，所以在 Rt△ACD 中 , ∠OCA=90°－15°=75°.5．B ；由 2a =3，2 c =12，得 2 a ·2 c =3×12. 即 2 a + c =36=62，而 2b =6 ∴ a a +c = (2b )2 = 22b 2b = a + c6．C ；设a = n - 2009, b = 2008 - n , 则a + b = -1，又 (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2且a 2 + b 2 = 1 ∴(-1)2 = 1 + 2ab , ∴ 2ab = 0 即 ab = 07．D ；若∠B＋∠C＜90°，则 ∠A＞90°，这与△ABC 是锐角三角形矛盾，故 D 错.8．A ；先据题意写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，……，经观察发现从左向右数每排列六个数后，从第七个数开始重复出现，即这 2009 个数是由 1，－1，－2，－1，1，2 这6 个数组成的数组重复排列而成，而 1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＋1＋2=0，又 2009=334×6＋5，这说明，这 2009 个数的和等于最后五个数：1，－1，－2，－1，1 的和. 9．D ；过 P 点的最长的弦是直径，其长为 30，最短的弦长= 2 的弦长= 24 ，所以⊙O 中，通过 P 点据圆的 L 的取值范围是 24≤L≤30，又 L 为整数，所以 L 的值可取 24，25，26，27，28，29，30，又根对称性知：长度为 25，26，27，28，29 的弦各有 2 条，故共有 12 条.10. B ；由图象知 a ＜0， c =0， - 2a + b ＜b - a . b ＞1，从而 2 a ＋ b ＞0，又(2a + b ) - (b - a ) = 3a ＜0，即 2a二、填空题：11. 9 或1 12. 113. 114.（4，-1），（-1，4） 15. 3 条16.3 17. O93518.（1，3） 提示：11．9 或 1 ；由条件知 x = -3， y = ±2912．1；由已知条件知 ab =1，所以原式= ab ab + a 2 +ab + b 2 = ab a (b + a )= b + a + ba a +b = a + b = 1 a + b b (a+ b )13. 1 ；设口袋中有黄球 x 个，依题意，得 6 = 2 , x = 5，所以 P （摸出 1 个黄球）= 5 = 13 4 + 6 + x 5 ⎧| a | ⋅ | b |= 4 15 314. （4，-1），（-1，4）；设点 P 的坐标为（ a , b ），由题意得分程组 ⎩b = -a + 3 解此方程组即可.15. 3 条；易知△AFD≌△AED，所以∠AFD=∠AED，DE=DF ，又∠CDE=∠BAC，∠C 为公共角，所以 ∠DEC=∠B=60°，所以∠AFD=∠AED=120°，所以∠BFD=60°，又∠B=60°，所以△BDF 为等边三角形，所以 DB=BF=DF=DE. 16. 3 ；因为折叠后点 B 与D 重合，所以∠EDB=∠DBC=45°，∴∠BED=90°，即 DE⊥BC，在等腰梯51 形(BC - AD ) =ABCD 中，CE=21(8 - 2) = 3 2，DE=BE=8-3=5∴ tan∠CDE= EC = 3DE 517.O ；由2x 2 - 6x + y 2 = 0 ，得2x 2 + y 2 = 6x 知 x ≥0，又 y 2 = -2x 2 + 6x ，w = x 2 - 2x 2 + 6x - 8x = -x 2 - 2x = -(x +1)2 +1，由此可见，当 x ≥-1 时， w 随着 x 的增大152 - 92 +F 而减小，又因为x ≥0>-1, ，故当x =0 时，w 的最大值是0.18.（1, 3）；∵ 四边形 OCDB 是平行四边形，B（8，0），∴ CD//OA，CD=OB=8过点M 作MF⊥CD于点F，则CF= C1D=4过点C 作CE⊥OA于点E，2∵ A（10，0），∴OE=OM－ME=OM－CF=5－4=1.连结MC，则MC=1OA=52∴ 在Rt△CMF中，MF =∴ 点 C 的坐标为（1，3）三、解答题19.解：设第二次购书x 本，依题意得100 +1 =150x -10 2 x整理得x2-110x + 3000 = 0 ，解得x1 = 50, x2 = 60当x =50 时，150÷50=3＞2.8，这与实际不符，舍去.当x =60 时，150÷60=2.5＞2.8，符合题意，由2.8×60×80%＋2.8×0.5×60×20% =151.2；151.2-150=1.2（元）20.解：（1）在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5，∴△ABC的周长为B12，又因 EF 平分△ABC 的周长，∴AE＋AF=6，而 AE= x ，∴AF=6－x ，过点 F 作FD⊥AC 于 D，则DF = sin A =BC =4∴DF =4AF4 所以AB 56 -x, ∴DF = (6 -x),5 5y =1AE ⋅DF =1x ⋅4(6 -x) =-2x2+12x （0＜x ＜3）2 2 5 5 5（2）这样的EF 存在，此时AE=6 -.2C ED AS△ABC=1 BC ⋅AC =1 ⨯4 ⨯3 = 6 ，由EF 平分△ABC的面积，所以2 2-2x2 +12x = 3 ，解得x =6 - 6 , x=5 5 1 2 2 2∵0＜x ＜3，∴ x =6 + 6 不合舍去，当x =6 - 6 时6 -x =2 2 15，符合题意，所以这样的 EF 存在，此时 AE=2 26 + 6“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。