广西名校高三年级2015年8月月考试题理科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，试卷总分150分.2.本试卷共8页，第1—4页为试题，第5—8页为答题卡，请将选择题、填空题的答案以及解答题的解答过程写在答题卡的相应位置上，不写、写错位置不得分．．．．．．．．．．. 第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有1个选项是符合题目要求的.） 1.设集合}2121|{<<-=x x M，}|{2x x x N ≤=，则=N M ( )A.)21,1[-B.]1,21(-C.)21,0[D.]0,21(-2.复数z 满足i zi 2)1(=+(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点在 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.函数3121++-=x y x 的定义域为 ( )A.]0,3(-B.]1,3(-C.]0,3()3,(---∞D.]1,3()3,(---∞ 4.正项等比数列}{n a 中，2446=-a a ，6453=a a ，则}{n a 的前8项和为 ( )A.63B.127C.128D.2555.已知直线⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00（t 为参数）上两点B A ,对应的参数值是21,t t ，则=||AB ( )A.||21t t + B.||21t t - C.||2122t t b a -+ D.2221||ba t t +-6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 ( ) A.若m ∥α,n ⊥β且βα⊥，则n m ⊥ B.若m ⊂α,n ⊂β且m ∥n ，则α∥β C.若βα⊥，m ∥n 且β⊥n ，则m ∥αD.若m⊥α,n ⊥β且n m ⊥，则βα⊥7.将函数)62sin(3π-=x y 的图像向右平移4π个单位长度，所得图像对应的函数( )A.在区间]127,12[ππ上单调递减B.在区间]127,12[ππ上单调递增C.在区间]3,6[ππ-上单调递减 D.在区间]3,6[ππ-上单调递增 8.阅读右图所示程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是 ()A ．420162015⨯ B.420152014⨯C ．220162015⨯D ．220152014⨯9.一个正三棱柱的正视图是正方形，且它的外接球的表面积等于325π，则这个正三棱柱的底面边长为 ( ) A.1 B.2 C.2 D.310.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--≥-+,03,02,063y y x y x 则目标函数x y z 2-=的最小值为( )A.-7B.-4C.1D.2 11.过点)1,1(的直线与圆046422=+--+y x y x 相交于B A ,两点，则||AB 的最小值为()A.32B.4C.52D.512.设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过),0(),0,(b a 两点，已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.2 D.332 第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则=a .14.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 . 15.已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AB m AM =，AD n AN =(0≠⋅n m )，若MN ∥BE ,则=mn. 16.已知数列}{n a 满足211=a ，)2()1(11≥-=---n n n a a a a n n n n ，则该数列的通项公式为 .三、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（12分）已知函数21cos cos sin 3)(2--=x x x x f .设ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且7=c，0)(=C f .(1)求角C ；(2)若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,3(B n =共线，求b a ,的值.18.（12分）某同学在暑假期间进行社会实践活动，对]55,25[岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合健康理念的调查，若生活习惯符合健康理念则称为“阳光族”，否则称为“非阳光族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数 分组 阳光族人数 占本组频率第一组 [25,30） 120 0.6第二组 [30,35） 195 p第三组 [35,40） 100 0.5 第四组 [40,45） 60 0.4 第五组 [45,50） 30 0.3 第六组 [50,55）150.3(1)补全频率分布直方图，并求n,p 的值；(2)从[35，,45）岁年龄段的“阳光族”中采用分层抽样法抽取16人参加户外骑行运动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中在[35，,40）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望EX .19.（12分）如图，ABCD 是块矩形硬纸板，其中AD AB 2=,2=AD ,E 为DC 的中点，将它沿AE 折成直二面角B AE D --. (1)求证：⊥AD 平面BDE ；(2)求二面角E AD B --的余弦值. 20．（12分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点和抛物线x y 82=的焦点重合，离心率等于21. (1)求椭圆C 的方程；(2)设)3,2(),3,2(-Q P 是椭圆上两点，B A ,是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，若AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值. 21.（12分）已知R ∈λ，函数1)1(ln )(-+--=λλx x x x f ，其中),1[+∞∈x .(1)当2=λ时，求)(x f 的最小值；(2)在函数xy ln =的图像上取点)ln ,(n n P n )(*∈N n ,记线段1+n n P P 的斜率为nk ，nn k k k S 11121+++=.对任意的正整数n ，证明2)2(+<n n S n请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作做答时请写清题号.22.(选修4-1几何选讲证明10分)如图，ABC ∆是直角三角形，C ∠为直角，D 是斜边AB 上一点，以BD 为直径的圆O 与AC 相切于点E ，与BC 相交于点F .(1)求证：BD BC BE ⋅=2；(2)若4,6==CF DE，求AE 的长.23.(选修4-4坐标系与参数方程10分)已知在极坐标系中，直线l 的方程为1)sin (cos =-θθρ，圆C的方程为03cos 42=+-θρρ(1)试判断直线l 与圆C 的位置关系； (2)若直线l 与圆0cos 42=+-a θρρ相交所得的弦长为2，求a 的值.24.(选修4-5不等式选讲10分)已知函数||)(a x x f -=.(1)若不等式3)(≤x f 的解集为}5|{≤≤x b x ，求b a +的值；(2)在(1)的条件下，若m x f x f ≥++)5()(对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.广西名校高三年级2015年8月月考试题理科数学参考答案一．CAADC DBBCA BA 二．13.21 14.52 15.2 16.13-=n n a n 三．17.(1)1)62sin(12cos 212sin 23)(--=--=πx x x x f ——————3 01)62sin()(=--=∴πC C f 即 1)62sin(=-πC ——————4 π<<C 0 611626πππ<-<-∴C 262ππ=-∴C ——————5 3π=∴C ——————6(2)n m // 0sin 3sin =-∴A B ——————7据正弦定理可得 03=-a b ①——————9又由余弦定理可得 C ab b a c cos 2222-+=而 7=c3π=C ab b a -+=∴227②——————11由①②知，1=a 3=b ——————1218.(1)第二组的频率为3.05)01.002.003.004.004.0(1=⨯++++- 所以频率分布直方图第二组的高为06.053.0=——————1 频率分布直方图补全如下： —————2第一组人数为2006.0120=，频率为2.0504.0=⨯10002.0200==∴n ——————4 由(1)知第二组的频率为3.0所以第二组的人数为3003.01000=⨯65.0300195==∴p ——————6(2)因为)40,35[岁年龄段的“阳光族”人数与)45,40[岁年龄段的“阳光族”人数的比值为3:5，所以采取分层抽样抽取16人，其中岁中有10人，岁中有6人.由题意得，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. ——————7其中 562)0(31636010===C C C X P 5615)1(31626110===C C C X P 5627)2(31616210===C C C X P 5612)3(3166310===C C C X P ——————10 随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P562 5615 5627 5612——————11 所以8155612356272561515620=⨯+⨯+⨯+⨯=EX——————12 18.方法一(1)证明：由题设可知DE AD ⊥，取AE 的中点O ，连结BE OD ,.2==DE ADAE OD ⊥∴. ————1又 二面角B AE D --为直二面角⊥∴OD 平面ABCE BE OD ⊥∴——————3又2==BE AE 22=AB 222BE AE AB +=∴BE AE ⊥∴又O AE OD = ⊥∴BE 平面ADE AD BE ⊥∴——————5又E DE BE = ⊥∴AD 平面BDE ——————6 (2)由(1)知⊥AD 平面BDE DB AD ⊥∴DE AD ⊥BDE ∠∴就是二面角E AD B --的平面角 ——————8 又⊥BE 平面ADE DE BE ⊥∴在BDE Rt ∆中，622=+=DE BE BD ——————1033cos ==∠∴BD DE BDE ∴二面角E AD B --的余弦值为33——————12方法二(1)证明：由题设可知DE AD ⊥，取AE 的中点O ，连结BE OD ,.2==DE ADAE OD ⊥∴. ————1又 二面角B AE D --为直二面角 ⊥∴OD 平面ABCE ——————3又2==BE AE 22=AB 222BE AE AB +=∴BE AE ⊥∴取AB 的中点为F ，连结OF ，则EB OF //AE OF ⊥∴——————4以O 为原点，OD OF OA ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）则)0,0,1(A ,)1,0,0(D ,)0,2,1(-B ,)0,0,1(-E ,于是)1,0,1(-=AD ，)1,2,1(-=BD ，)0,2,0(=EB ——————6设).,(z y x =是平面BDE 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0即⎩⎨⎧=+-=,02,02z y x y令1=x ，则1-=z ，于是)1.0,1(-=n-=∴//∴⊥∴AD 平面BDE . ——————8(2)设).,(z y x =是平面ABD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0即⎩⎨⎧=+-=+-,0,02z x z y x令1=x ，则1,1==z y ，于是)1.1,1(=又平面ADE 的法向量)0,1,0(=——————103331||||===∴OF m ——————1220.(1)抛物线x y 82=的焦点)0,2(为椭圆的一个焦点，故设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ， ——————2且2=c 由21==a c e ，得4=a ，122=∴b ——————4 所以椭圆的方程为1121622=+y x ——————6 (2)设),(11y x A ，),(22y x B ，直线AB 的方程为t x y +=21代入1121622=+y x ，得01222=-++t tx x ——————8 由0>∆，得44<<-t由韦达定理得 t x x -=+2112221-=t x x ——————92222122121348)12(44)(||t t t x x x x x x -=--=-+=-∴2213483||621t x x S APBQ -=-⨯⨯=∴——————11∴当0=t 时，312max =∴APBQ S ——————1221.(1)2=λ时，1)1(2ln )(+--=x x x x f )1(≥x ——————10)1()1()1()1(2)1(21)(222≥+-=+--+-='x x x x x x x x f ——————3所以，函数)(x f 在),1[+∞上单调递增，故0)1()(min ==f x f ——————5 (2)依题意 )11ln()1(ln )1ln(nn n n n k n+=-+-+=——————6由(1)知，在2=λ的情况下，若1>x ，则0)(>x f ，即1)1(2ln +->x x x ——————8于是 122111)111(2)11ln(+=++-+>+n nn n ，即2121+<n k n ——————102)2(2122122211211121+=++++⨯++⨯<+++=n n n k k k S n n ——————12 22.(1)证明：因为圆O 与AC 相切于点E ,BDE BEC ∠=∠∴.BD 是圆O 的直径， 90=∠∴BED ,又 90=∠C ，BEC ∆∴∽BDE ∆————3BDBEBE BC =∴BD BC BE ⋅=∴2——————5 (2)EDB CFE ∠=∠ ,CFE Rt ∆∴∽EDB Rt ∆,32==∴BE CE DE CF ,32sin =∠∴CBE 圆O 与AC 相切于点E ,FEC ∆∴∽EBC ∆,32sin sin =∠=∠∴CBE CEF6=∴EF 5222=-=∴CF EF CE ——————7又CB CF CE⋅=25=∴BC 45222=+=∴CE CB BE又BD BC BE ⋅=∴2，9=∴BD 29=∴OE 圆O 与AC 相切于点E ,AC OE ⊥∴32==+∴BC OE CE AE AE ,即52952=+AE AE518=∴AE ——————1023.(1)由1)sin (cos =-θθρ得01=--y x ——————1由03cos 42=+-θρρ得03422=+-+x y x ，即1)2(22=+-y x ——————3圆心到直线的距离122<=d ，所以直线与圆相交. ——————5 (2)由0cos 42=+-a θρρ得0422=+-+a x y x 即a y x -=+-4)2(22———7直线l 与圆0cos 42=+-a θρρ相交所得的弦长为2， ∴|2102|)22(42--+=-a 3=∴a ——————10 24.(1)不等式3)(≤x f 即为3||≤-a x 33+≤≤-∴a x a ——————2不等式3)(≤x f 的解集为}5|{≤≤x b x ⎩⎨⎧=+=-∴533a b a ⎩⎨⎧-==∴12b a ——————4 1=+∴b a ——————5(2)在(1)的条件下，2=a ，|2|)(-=x x f ——————6m x f x f ≥++)5()(化为m x x ≥++-|3||2|对一切实数x 恒成立， 5|)3()2(||3||2|=+--≥++-x x x x ——————8 ]5,(-∞∈∴m ——————10。