2013年普通高等学校招生全国统一考试（广西卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年广西，理1，5分】设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数 为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由题意知,,x a b a A b B =+∈∈，则x 的可能取值为5，6，7，8，因此集合M 共有4个元素，故选B ． （2）【2013年广西，理2，5分】()3=（ ）（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i 【答案】A【解析】323(1138+=++⨯+=-，故选A ．（3）【2013年广西，理3，5分】已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+r ，若()()m n m n +⊥-u r r u r r，则λ=（ ）（A ）4-（B ）3- （C ）2- （D ）1- 【答案】B 【解析】()()2222||||0(1)1[(2)4]3m n m n m n λλλ+⊥-⇒-=⇒++-++⇒=-u r r u r r u r r ，故选B ．（4）【2013年广西，理4，5分】已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x -的定义域为（ ）（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()1,0- （D ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意可知，1210x -<+<，则112x -<<-，故选B ．（5）【2013年广西，理5，5分】函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x -（ ）（A ）()1021x x >- （B ）()1021x x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x ->【答案】A【解析】由题意知1112(0)21y y x y x +=⇒=<-，因此11()(0)21x f x x -=>-，故选A ．（6）【2013年广西，理6，5分】已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ）（A ）()10613--- （B ）()10139-- （C ）()10313-- （D ）()10313-+【答案】C【解析】由111303n n n n a a a a +++=⇒=-，故数列{}n a 是以13-为公比的等比数列，21443a a =-⇒=Q ，10101014(1())33(13)113S ---∴==-+，故选C ． （7）【2013年广西，理7，5分】()()3411+x y +的展开式中22x y 的系数是（ ） （A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168 【答案】D【解析】()31x +的展开式中2x 的系列为2828C =，而()41+y 的展开式中2y 的系列为246C =，故22x y 的系数为286168⨯=，故选D ．（8）【2013年广西，理8，5分】椭圆22:146x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）（A ）13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】设P 点坐标为00(,)x y ，则21220000001,,4322PA PA x y y y k k x x +===-+，于是2112220022003333144444PA PA PA PA x y k k k x x k -⋅===-⇒=-⋅--，由2[2,1]PA k ∈--，故133[,]84PA k ∈，故选B ． （9）【2013年广西，理9，5分】若函数()21=f x x ax x ++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）[]1,0- （B ）[)1,-+∞ （C ）[]0,3 （D ）[)3,+∞【答案】D【解析】由条件知21()20f x x a x '=+-≥在1,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭恒成立，函数212y x x =-在1,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上为减函数，max 21123312()2y a <-⨯=⇒≥，故选D ． （10）【2013年广西，理10，5分】已知正四棱锥1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）（A）23（B ）33 （C ）23 （D ）13【答案】A【解析】如下图，连接AC 交BD 于点O ，连接1C O ，过C 作1CH C O ⊥于H ，111111111BD AC CH BD BD ACC A BD AA CH C O CH C BD CH ACC A AC AA A BD C O O ⊥⊥⎫⎫⊥⎫⎪⎪⎪⊥⇒⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎬⊂⎪⎭⎪⎪⋂=⋂=⎭⎭Q 平面平面平面故HDC ∠为CD 与平面1BDC 所成的角．设122AA AB ==，则1¬2AC OC C O =====，由等面积法， 得111123OC CC C O CH OC CC CH C O ⋅⋅=⋅⇒==，故2sin 3HC HDC DC ∠==，故选A ． （11）【2013年广西，理11，5分】已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB ⋅=u u u r u u u r，则k =（ ）（A ）12（B （C （D ）2【答案】D【解析】由题意知抛物线C 的焦点坐标为，则直线AB 的方程为(2)y k x =-，将其代入28y x =，得22224(2)40k x k x k -++=设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121224(2),4k x x x x k++=⋅=① 而1212121212()4,(2()4)y y k x x k y y k x x x x +=+-⋅=⋅-++② 由0MA MB =u u u r u u u rg ，可得1122(2,2)(2,2)0x y x y +-•+-=所以：121212122()2()80x x x x y y y y +++-++=③ 由①②③解得2k =，故选D ．（12）【2013年广西，理12，5分】已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中正确的是（ ）（A ）()y f x =的图像关于(),0π中心对称 （B ）()y f x =的图像关于2x π=对称（C ）()f x（D ）()f x 既是奇函数，又是偶函数 【答案】C【解析】依题意22()2cos sin 2(1sin )sin f x x x x x ==-，设sin ,[1,1]t x t =∈-，则23()2(1)22g t t t t t =-=-由2()260g t t t '=-=⇒=，当1t =±时，函数值为0，当t =时，函数值为当t =()f xC ．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2013年广西，理13，5分】已知α是第三象限角，1sin 3α=-，则cot α= ．【答案】70【解析】8⎛⎫的展开式的通项公式为()()833842218811rr r rr r r r r T C C x y ---+⎛⎫=⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅， 令3384222r r-=-=，求得4r =，故展开式中22x y 的系数为4870C =．（14）【2013年广西，理14，5分】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答） 【答案】480【解析】先排除甲、乙外的4人，方法有44A 再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 的排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245480A A =． （15）【2013年广西，理15，5分】记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D ，若直线()1y a x =+与D 公共点，则a 的取值范围是____________． 【答案】1[,4]2【解析】作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由直线(1)y a x =+过定点(1,0)C -，依图并结合题意可知，1,42BC AC k k ==，要使直线(1)y a x =+与平面区域D有公共点，则142a ≤≤．（16）【2013年广西，理16，5分】已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60o ，则球O 的表面积等于 ． 【答案】16π 【解析】设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则,OE MN KE MN ⊥⊥，结合题意可知60OEk ∠=︒，又MN R =，故OMN ∆为正三角形，故OE ，又OK EK ⊥，3sin 6022OE R ∴=︒=⇒=，故2416S R ππ==．三、解答题：本大题共6题，共75分． （17）【2013年广西，理17，10分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知232=S a ，且124,,S S S 成等比数列，求{}na的通项式．解：设{}n a 的公差为d ．由232S a =得2223a a =，故20a =或23a =．由124,,S S S 成等比数列得2214=S S S ．又12S a d =-，222S a d =-，4242S a d =+，故2222(2)()(42)a d a d a d -=-+．若20a =，则222d d =-，所以0d =，此时0n S =，不合题意；若23a =，则2(6)(3)(122)d d d -=-+，解得0d =或2d =．{}n a ∴的通项公式为3n a =或21n a n =-．（18）【2013年广西，理18，12分】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=．（1）求B ；（2）若31sin sin A C -=，求C ．解：（1）()()a b c a b c ac ++-+=Q ， 222a cb ac ∴+-=-．由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，0120B ∴=．（2）由（1）知060A C +=，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+cos()2sin sin A C A C =++13122-=+⨯3=，故030A C -=或030A C -=-，因此015C =或045C =． （19）【2013年广西，理19，12分】如图，四棱锥P ABCD -中，902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆o ，与PAD∆都是等边三角形．（1）证明：PB CD ⊥；（2）求二面角A PD C --的大小． 解：（1）证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连结OA OB OD OE ，，，，由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知 PA PB PD ==，所以OA OB OD ==，即点O 为正方形ABED 对角线的交点故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥，因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以//OE CD ．因此PB CD ⊥． （2）解法一：由（1）知CD PB ⊥，CD PO ⊥，PB PO P =I ．故CD ⊥平面PBD ． 又PD ⊂平面PBD ，所以CD PD ⊥．取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ，则//FG CD ，//FG PD ． 连结AF ，由APD ∆为等边三角形可得AF PD ⊥．所以AFG ∠为二面角A PD C --的平面角．连结AG ，EG ，则//EG PB ．又PB AE ⊥，所以EG AE ⊥．设2AB =，则22AE =，112EG PB ==，故223AG AE EG =+=．在AFG ∆中，122FG CD ==，3AF =，3AG =，所以2226cos 2FG AF AG AFG FG AF +-∠==-⨯⨯．因此二面角A PD C --的大小为6arccos π-． 解法二：由（1）知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE u u u r的方向为x 轴的正 方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．设||2AB =u u u r，则(2,0,0)A -，(0,2,0)D -，(22,2,0)C -，(0,0,2)P ．(22,2,2)PC =--u u u r ，(0,2,2)PD =--u u u r ．(2,0,2)AP =u u u r ，(2,2,0)AD =-u u u r ． 设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z =u u r ，则1(,,)(22,2,2)0n PC x y z •=•--=u u r u u u r， 1(,,)(0,2,2)0n PD x y z •=•--=u u r u u u r，可得20x y z --=，0y z +=．取1y =-，得0,1x z ==，故1(0,1,1)n =-u u r ．设平面PAD 的法向量为2(,,)n m p q =u u r ，则2(,,)(2,02)=0n AP m p q ⋅=⋅u u r u u u r，， 2(,,)(2,-20)=0n AD m p q ⋅=⋅u u r u u u r ，，可得0,0m p m p +=-=．取1m =，得1,1p q ==-，故2(1,1,1)n =-u u r ．于是1212126cos ,=-||||n n n n n n •<>=u u r u u ru u r u u r u u r u u r ．由于12,n n <>u u r u u r 等于二面角A PD C --的平面角，所以二面角A PD C --的大小为6arccosπ-． （20）【2013年广西，理20，12分】甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（1）求第4局甲当裁判的概率；（2）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望． 解：（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”．则12=A A A •．12121()=P()()()4P A A A P A P A ⋅==．（2）X 的可能取值为0，1，2．记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，1B 表示事件“第1局结果为乙胜丙”，2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， 3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则1231231(0)()()()()8P X P B B A P B P B P A ==••==， 13131(2)()()=4P X P B B P B P B ==•=（），115(1)1-(0)(2)1848P X P X P X ===-==--=，9()0(0)1(=1)+2(2)8E X P X P X P X =⋅=+⋅⋅==．（21）【2013年广西，理21，12分】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ,，离心率为3，直线2y =与C． （1）求,a b ；（2）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点，且11AF BF =，证明：22AF AB BF 、、成 等比数列．解：（1）由题设知3c=，即2229a b a +=，故228b a =．所以C 的方程为22288x y a -=．将2y =代入上式，求得x =21a =．所以1,a b ==（2）由（1）知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，C 的方程为2288x y -=．①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-，||k < 代入①并化简得2222(8)6980k x k x k --++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11x≤-，21x ≥，212268k x x k +=-，2122988k x x k +⋅=-．于是11||(31)AF x -+， 12||31BF x =+，1112||||(31)31AF BF x x =⇒-+=+，即1223xx +=-．故226283k k =--，解得245k =，从而12199x x ⋅=-．由于21||13AF x =-， 22||31BF x ==-．故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=， 221212||||3()9-116AF BF x x x x ⋅=+-=．因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列．（22）【2013年广西，理22，12分】已知函数()()()1=ln 11x x f x x xλ++-+．（1）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（2）设数列{}211111,ln 2234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：． 解：（1）由已知(0)0f =，2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+，'(0)0f =．若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，'()0f x >， 所以()0f x >．若12λ≥，则当0x >时，'()0f x <，所以当0x >时，()0f x <．综上，λ的最小值是12．（2）令12λ=．由（1）知，当0x >时，()0f x <，即(2)ln(1)22x x x x +>++．取1x k=，则211ln()2(1)k k k k k ++>+． 212111()422(1)n n n k n a a n k k -=∴-+=++∑21212(1)n k n k k k -=+=+∑211ln n k nk k -=+>∑ln2ln n n =-ln2=．21ln 24n n a a n ∴-+>．。