考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题例3、已知过函数1)(23++=ax x x f 的图象上一点),1(b B 的切线的斜率为－3．（1）求b a ,的值；（2）求A 的取值范围，使不等式1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立； 【解析】（1）()x f '=ax x 232+依题意得3,323)1('-=∴-=+==a a f k()1323+-=∴x x x f ，把),1(b B 代入得1)1(-==f b 1,3-=-=∴b a（2）令063)(2'=-=x x x f 得0=x 或2=x 31232)2(,1)0(23-=+⨯-==f f 17)4(,3)1(=-=-f f17)(3],4,1[≤≤--∈∴x f x要使1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立，则)(x f 的最大值198717-≤A 2004≥∴A变式训练1、设函数2()()ln ()f x x a x a R =-∈（Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a .（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意(0,3]x e ∈恒有2()4f x e ≤成立（注：e 为自然对数的底数）.【解析】（I ）求导得2()()2()ln ()(2ln 1)x a a f x x a xx a x xx因为xe 是()f x 的极值点，所以()0f e解得ae 或3a e ．经检验，符合题意，所以a e ，或3a e（II ）①当031a 时，对于任意的实数(0,3]xa ，恒有2()04f x e 成立，即13a符合题意 ②当31a 时即13a 时，由①知，(0,1]x 时，不等式恒成立，故下研究函数在(1,3]a 上的最大值， 首先有22(3)(3)ln 34ln 3f a a a a a a 此值随着a 的增大而增大，故应有224ln34a a e ，即22ln 3a ae故参数a 的取值范围是103a或13a ，且22ln 3a a e .同步训练1、(2011·荆州质检题)函数3()31f x ax x 对于[1,1]x 总有()0f x 成立，则a 的取值为( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2,4]【解析】2()33f x ax ，当0a时，min()(1)20f x f a ，2a ，不合题意；当01a 时，2()333()()f x ax a x xa a，)(x f 在[－1,1]上为减函数，min()(1)20f x f a ，2a，不合题意；当1a 时，(1)40f a 且10f aa，解得4a .综上所述，4a ，故选C.答案：C2、设函数)(x f y =在),(+∞-∞内有定义.对于给定的正数K ,定义函数⎩⎨⎧>≤=Kx f K Kx f x f x f k )(,)(),()( 取函数x e x x f ---=2)(.若对任意的),(+∞-∞∈x ,恒有)()(x f x f k =,则( )A.K 的最大值为2B.K 的最小值为2C.K 的最大值为1D.K 的最小值为1 【解析】 因为()()K f x f x =恒成立，所以K ≥()f x =2x x e ---011)(=+-='xe xf 时，解得0=x 故)0,(-∞∈x 时，0)(>'x f ；),0(+∞∈x 时0)(<'x f所以),(x f 在)0,(-∞∈x 上为单调递增函数；在),0(+∞∈x 上为单调递减函数。

在0=x 处取得最大值1)0(max =f ，即1≥K 。

答案：D 3、设函数()f x 在R 上的导函数为()f x ，且22()()f x xf x x ，下面的不等式在R 上恒成立的是（ ） A 、()0f x B 、()0f x C 、()f x x D 、()f x x【解析】可令211()22f x x ，则()f x 满足条件，验证各个选项，知B 、C 、D 都不恒成立，故选A.4、（2012辽宁文）设()ln 1f x xx ，证明：（1）当1x 时，3()(1)2f x x （2）当13x 时，9(1)()5x f x x【解析】（1）记3()ln 1(1)2g x xx x ，则当1x 时， 13()022g x x x ，又(1)0g ，故()0g x ，即3()(1)2f x x （2）记9(1)()()5x h x f x x ，则当13x 时，由（1）得22154254()2(5)(5)2xh x xxx x x322554(5)2164(5)4(5)x x xx x x x令3()(5)216,13l x x x x ，2()3(5)2160l x x因此()l x 在(1,3)内是递减函数，又由(1)0l ，得()0l x ，所以()0h x . 所以，()h x 在(1,3)内是递减函数，又(1)0h ，所以()0hx于是，当13x 时，9(1)()5x f x x . 5、（2012辽宁理）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x在()0,0点相切.（1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x 【解析】（1）由()=y f x 的图像过()0,0点，代入得=-1b由()=y f x 在()0,0处的切线斜率为32，又=0=013'==++12x x y a a x ⎛⎫⎪⎝⎭，得=0a （2）（证法一）由均值不等式，当>0x 时，)+1+1=+2x x +12x记()()9=-+6xh x fx x ，则()()()()()22215454+654'=<-+14+1+6+6+6x h x x x x x x ()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ，令()()()3=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时， ()()2'=3+6-216<0g x x因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()'<0h x 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，于是当0<<2x 时， ()9<+6xf x x 6、（2012新课标理）已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+；（1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。

【解析】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+令1x =得：(0)1f =1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=得：21()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔< 得：()f x 的解析式为21()2x f x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +<时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾 ②当10a +=时，0x b e b ≤⇒≤③当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>当x =max ()2e F x =当1,a b ==时，(1)a b +的最大值为2e7、已知函数()2(),f x x bx c b c R =++∈，对任意的R x ∈，恒有()()x f x f ≤'。

（Ⅰ）证明：当0≥x 时，()()2f x x c <+；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意,,c b 不等式()()()22b c M b f c f -≤-恒成立，求M 的最小值. 【解析】（Ⅰ）∵对任意的R x ∈，恒有()()'f x f x ≤ ∴2()2f x x b x bx c =+≤++ 即2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立， ∴22(2)4()440b c b b c ---=+-≤①∴2444,1c b c >+≥∴>又224(1)4,22b c c c b c <-<∴-<<222()()(2)x c x bx c c b x c c +-++=-+-，∵0,2x b c ≥<∴2222()()(2)(1)0x c x bx c c b x c c c c c c +-++=-+-≥-=-> 所以2()()f x x c <+. （Ⅱ）222222()()()()()(2)()f c f b c bc c b b c c b bc b c b c b -=++-++=-+-=+- 22()()()M c b M c b c b -=+-因为2(2)4()0b c b ---≤，即2(2)()04b c b --≥≥，因此有0c b -≥不等式()()()22b c M b f c f -≤-恒成立，即2()c b M c b +≤+，∴ (1)()b M c b ≤-+ ②由①式得244c b ≥+，则1144c b b b b≥+≥=，∴c b ≥ ∴2c b b +≥ ③由②③式得2(1)1M -≥，解得32M ≥，所以M 的最小值为32.8、设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．【解析】（Ⅰ）由题意)(x f 的定义域为(0,) 2222()2a x ax a f x x axx令22()2g x xax a ，2222max9()()04848a a a g x g a a∴()0f x ，即)(x f 的单调减函数区间为(0,)（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 在(0,)上单调递增则222(1)11()f ae f e a e ea e，解得：a e所以，当a e 时，2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立.9、（2012湖北）设函数()(1)(0)n f x ax x b x ，n 为正整数，,a b 为常数，曲线()yf x在(1,(1))f 处的切线方程为1x y . （1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 的最大值；（3）证明：1()f x ne.【解析】（1）因为(1)f b ，由点(1,)b 在1x y 上，可得11b ，即0b ，∵1()(1)nn f x anx a n x ∴(1)f a又∵切线1x y 的斜率为1 ∴1a故0b，1a（2）由（1）知1()(1)n nn f x x x x x ∴1()(1)()1n n f x n x x n令()0f x ，解得1n xn ，即()f x 在(0,)上有唯一零点01n x n .在(0,)1nn 上()0f x ，故()f x 单调递增；而在(,)1n n 上，()0f x ，()f x 单调递减.故()f x 在(0,)上的最大值为1()()(1)111(1)nnn n nnn f n n n n .（3）令1()ln 1(0)t t t t ，则22111()(0)t t t t t t 在(0,1)上，()0t ，故()t 单调递减；而在(1,)上，()0t ，()t 单调递增. ∴()t 在(0,)上的最小值为(1)0. ∴()0(1)t t ， 即1ln 1(1)t t t 令11t n ，得11ln1n nn ，即11ln()ln n n e n，所以11()n n e n，即11(1)nn n nen . 由（2）知，11()(1)nn n f x nen 故所证不等式成立.。