函数、不等式恒成立问题完整解法
恒成立问题的基本类型：
类型1：设，<1）上恒成立
；<2）上恒成立。

类型2：设
<1）当时，上恒成立
，
上恒成立
<2）当时，上恒成立
上恒成立
类型3：。

类型4：
恒成一、用一次函数的性质
对于一次函数有：
例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范
围。

解读：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：
，；令，则时，
恒成立，所以只需即，所以x的范围是。

二、利用一元二次函数的判别式
对于一元二次函数有：
<1）上恒成立；
<2）上恒成立
例2：若不等式的解集是R，求m的范围。

解读：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

<1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
<2）时，只需，所以，。

三、利用函数的最值<或值域）
<1）对任意x都成立；
<2）对任意x都成立。

简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。

由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

例3：在ABC中，已知恒
成立，求实数m的范围。

解读：由
，
，恒成立，，即
恒成立，
例4：<1）求使不等式恒成立的实数a的范围。

解读：因为函，显然函数有最
大值，。

如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：
<2）求使不等式恒成立的实数a的范围。

解读：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变
化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。

所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。

利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。

四：数形结合法
对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。

例5：已知，求实数a的取值范围。

解读：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由
得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数
在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在
在区间对应图象的上面即可。

当才能保证，而才可以，所以。

例6：若当P(m,n>为圆上任意一点时，不等式
恒成立，则c的取值范围是< ）
A、 B、
C、 D、
解读：由，可以看作是点P(m,n>在直线的右侧，而点
P(m,n>在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与
它相离或相切。

，故选D。

同步练习
1、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。

分析：如果时，恒有意义，则可转化为恒
成立，即参数分离后，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。

解：如果时，恒有意义，对恒成立.
恒成立。

令，又则对
恒成立，又在上为减函数，
，。

2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式
对于任意恒成立，求实数的取值范围。

分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为
对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。

解：是增函数对于任意恒成立
对于任意恒成立
对于任意恒成立，令，
，所以原问题，又即
易求得。

3、已知当x R时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值
范围。

方法一）分析：在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围<x R）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。

解：原不等式
当x R时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立
设则
∴
方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。

解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化为
a+1-2sin2x<5-4sinx,令sinx=t,则t[-1,1],
不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立2t2-4t+4-a>0,t[-1,1]恒成立。

设f(t>= 2t2-4t+4-a，显然f(x>在[-1，1]内单调递减，f(t>
=f(1>=2-
min
a,2-a>0a<2
4、设f(x>=x2-2ax+2,当x [-1,+>时，都有f(x>a恒成立，求a的
取值范围。

分析：在f(x>a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。

解：设F(x>= f(x>-a=x2-2ax+2-a.
ⅰ>
当=<-2a）2-4(2-a>=4<a-1>(a+2><0时，即-2<a<1时，对一切
x [-1,+>，F(x> 0恒成立；
ⅱ）当=4<a-1>(a+2> 0时由图可得以下充要条件：
即
得-3a-2。

综上所述：a的取值范围为[-3，1]。

5、、当x(1,2>时，不等式(x-1>2<log
a
x恒成立，求a的取值范围。

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。

解：设T
1:=,T
2
:,则
T
1
的图象为右图所示的抛物线，要使对一切
x (1,2>,<恒成立即T
1
的图象一定要
在T
2
的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只
需
故log
a
2>1,a>1,1<a 2.
6、、已知关于x的方程lg(x2+20x>-lg(8x-
6a-3>=0有唯一解，求实数a的取值范围。

分析：原方程可化成lg(x2+20x>=lg(8x-6a-3>,从而得x2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。

解：令T
1：y
1
= x2+20x=<x+10）2-100, T
2
：
y 2=8x-6a-3,则如图所示，T
1
的图象为一抛物线，
T
2
的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直
线，要使T
1和T
2
在x轴上有唯一交点，则直线必
须位于l
1和l
2
之间。

<包括l
1
但不包括l
2
>
当直线为l
1
时，直线过点<-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=。

当直线为l
2时，直线过点<0，0），纵截距为
-6a-3=0，a=∴a 的范围为[，）。

7、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个变量：x 、P,并且是给出了p 的范围要求x 的相应范围，直接从x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量，x 看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题。

解：原不等式可化为 (x-1>p+x 2-2x+1>0,令 f(p>= (x-1>p+x 2-2x+1,则原问题等价于f(p>>0在p ∈[-2,2]上恒成立，故有：
方法一
：
或
∴x<-1或
x>3.
方法二：即
解得：
∴x<-1或x>3.。