31.4
38.6
50.2
误差（106)
0
0.1
0.29
0.41
0.66
0.81
2.55
0.2
0.9
5.1
年份
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
真实人口(106)
62.9
76.0
92.0
106.5
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
题目：人口增长模型的确定
摘要
人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。
1990
2000
2010
人口
248.7
281.4
308.7
预测值
249.6
253.5
280.0
误差
0.9
27.9
28.6
6.3 问题三模型求解
6.3.1马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型求解中国人口问题
参照问题一，我们来求解中国人口问题。
表8中国每10年自然增长率
序号123来自456
7
8
9
r
0.056
其中c=x
因此，人口的变化规律为：
(5-5)
5.3 问题三模型建立
经调查，1790-2010年间中国每隔10年的人口记录如下表所示。
表7中国人口记录表
年份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
人口(106)
323.5
341.6
360.8
381.0
409.0
412.0
1792.4
图5美国人口真实值与预测值曲线拟合
通过上图可以发现，1790-1870指数增长模型确实拟合的比较好，但从1870年开始往后发现误差越来越大，可知指数增长模型只适合于短期的人口预测。为了生存以及人类的发展，人们自然会采取有效措施来控制人口的过度增长，自然资源、环境资源的条件也限制了人口数量的过度增长。因此为了使人口预报模型适合长期的发展趋势，更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设了，这时必将导致更适合人类发展的规律的新数学模型的产生。
按照这个假设，得到：
(5-4)
这便是荷兰数学家Verhulst于19世纪中叶提出的阻滞增长模型（Logistic模型）。
在MATLAB命令窗口键入
dsolve(‘Dx=r*x*(1-x/c)’,’x(1790)=3.9’)
输出：
ans=c/(1+1/39*exp(-r*t)*exp(1790*r)*(10*c-39))
0.056
0.056
0.073
0.007
0
-0.085
-0.05
0.028
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0.033
0.053
0.058
0.116
0.036
0.061
0.054
0.22
0.227
0.199
同样，取高、中、低三种自然增长率方案，高方案中自然增长率为0.022，中方案中自然增长率为0.005，低方案中自然增长率为0.001。
(5-3)式即人口增长模型。
5.2 问题二：改进模型-阻滞增长模型（Logistic模型）
自从英国人口学家和政治经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯1798年发表《人口学原理》后，马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型在世界上引起了轩然大波，并在后来的人口预测中扮演着重要的角色。但是随着时间的发展，由于现代社会与自然环境的改变，马尔萨斯人口指数增长模型在预测未来人口时，误差可能会比较大。上述模型对较早时期的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。由于社会的快速发展，自然环境遭受严重破坏，人口的高速增长等一系列原因，人口的增长率不能按照马尔萨斯所假设为一个常数r不改变。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数x，我们假设人口的净增长率为r(1-x(t)/x)，即人口的净增长率随着人口的增长而不断减小，当t时，净增长率趋于零。
1264.1
1341.0
我们分别应用马尔萨斯人口指数增长模型和Logistic人口阻滞增长模型来对中国人口进行预测。
六、模型求解
6.1 问题一模型求解
在应用预测模型的过程中考虑到，若要提高预测结果的准确性，就必须增加预测方案的数量，对比各方案的预测值和误差，选取误差最低的一组预测方案。特别是马尔萨斯模型中，人口增长率r是一定时期内人口增加的综合结果，在预测中它的取值直接关系到预测结果的精度，因此在进行不同阶段的人口预测时根据实际情况对人口增长率r加以分类和处理才能得到理想的预测结果。本文根据1790-1980年计算美国常住人口每年的增长率，按照人口增长率r的大小设置了高中低三个方案，以此加强预测结果的对比，提高预测的准确度。
表3美国每10年自然增长率
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
r
0.359
0.358
0.333
0.343
0.326
0.357
0.353
0.229
0.301
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0.253
0.208
0.211
0.158
0.157
0.069
0.144
0.190
0.138
0.110
通过表3可以确定自然增长率高，中，低三个方案。通过数据分析可得，上述表格为10年的累计增长率，而自然增长率强调一年，所以可近似除以10求得，高方案中自然增长率为0.033，中方案中自然增长率为0.029，低方案中自然增长率为0.013。
412.0
377.0
358.0
年份
1880
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
人口(106)
368.0
380.0
400.0
423.0
472.0
489.0
518.8
546.8
667.1
年份
1970
1980
1990
2000
2010
人口(106)
818.3
981.2
1135.2
23.2
31.4
38.6
50.2
年份
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
人口(106)
62.9
76.0
92.0
106.5
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
1.2 问题提出
我们需要解决以下问题：
1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。
符号
符号说明
N(0)
起始年人口容纳量
N(t)
t年后人口容纳量
t
年份
r
增长率
五、模型建立
5.1 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型
设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。
当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为N(0)，人口增长率为r，r是单位时间内N(t)的增量与N(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程：
1)先取n=17,w=1.5,运行上述程序，得到结果a = [324.0666, 0.0276];
x1 = 272.7996.
2) 再取n=16,w=2,运行上述程序，得到结果a=[345.1439,0.0270];x1=280.0539.
我们把两种情况的拟合曲线画在同一个坐标系中，很容易作出比较，见图6。第二种情形后半段的变化趋势与原始数据更吻合，因此，对将来人口的预测应该更好。
图7 Logistic模型优化拟合曲线
经过修改，得到了一个较满意的结果，人口增长率r=0.0270,极限人口xm=345.1439(百万)，并预测1990年--2010年美国人口。
通过调查得知1990-2010年人口数量统计如下表
表61990年-2010年Logistic模型美国人口真实值与预测值
时间（年）
误差（106)
14.5
28.4
50.31
90.2
152.3
227.3