数学建模
———关于人口增长的模型
摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。

首
先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。

对两种模型的求解，我们引入了微分方程。

其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。

先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。

一、 问题的提出：
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百
模型一（指数增长模型）
1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。

然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。

附图A
2、基本假设：人口的增长率是常数
增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。

故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。

设人口增长率为常数r 。

时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O
由假设，对任意△t>0 ，有
)()
()(t rx t
t x t t x =∆-∆+
即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数
当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即：
o t →∆lim
)()
()(t rx t
t x t t x =∆-∆+ 引入微分方程：
)1( )0()(0
⎪⎩⎪
⎨⎧==x x t rx dt
dx
3、模型求解： 从（1）得
rdt x
dx
= 两边求不定积分：
c rt x +=ln
∵t=0时0x x =，∴C x =0ln
rt e x rt x x 00ln ln ln =+=
∴rt
e x t x 0
)(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长.
备注； r 的确定方法：
要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33
.5==r
,359.1307.0=e
,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(⨯=
4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):
x(22)=3325.77
2020的人口为x(23):
x(23)=4519.73
5、检验：根据所建立的指数模型预测1790以后近两百年的美国人口数量,在此
6、模型讨论：
由表可见，当人口数较少时，模型的预测结果与实际情况相差不大（不超过5%）。

但人口较多时用模型预测的结果比实际人口偏大较多，实际人口越多时相对误差越大。

即人口的增长不应是一个常数。

进行如下讨论：
()t x，忽略了个体间的差异（如年龄、1．我们把人口数仅仅看成是时间t的函数
性别、大小等）对人口增长的影响。

2．假定()t x是连续可微的。

这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的，可认为是近似成立的。

3．人口增长率是常数r，意味着人处于一种不随时间改变的定常的环境当中。

4．模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生。

不难看出，这些假设是苛刻的、不现实的，所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口。

模型二（阻滞增长模型）
1、模型的提出
随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口开始起阻滞作用，因而人口增长率会逐渐下降。

又因一定环境所容纳的人口数量是一定的，人口不会无限地增加，而是最终趋近于某个常数。

2、基本假设
人口增长率不是常数，而是关于人口数量x的线性递减函数r(x).
()x r :人口增长率
m x ：按自然资源和环境条件的最大人口容量
r
： 固有增长率，即人口很少时的增长率
3、模型的建立及求解：
由定义和假设，显然有： kx r x r -=)(
0)(=m x r
r r =)0(
∵m
x x →lim 0=m r
lim →x ()0=x r
即r-rk m x =0
、 ∴k=m
x r
∴()=x r r-
m x r x=r(1-m
x
x
)
将()x r 的表达式代入指数增长模型中的微分方程中：
)3( )0()1(0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=x
x x x x r dt
dx
m 求解：
由（3）式得：
移项得：
rdt x
x x dx
m
=-)1(
dx x x x dx x x x x x x x x x dx x x
x x dx m m m m m m
)11()()()()1(-+=-+-=-=- rdt dx x
x x ：m =-+)11(即
两边求不定积分 ⎰⎰=-+rdt dx x x x m )11( ,)ln(ln 1c rt x x x m +=--∴
1ln
c rt x
x x
m +=-∴
∴1C rt m e x
x x
+=-
1
1
1C rt C rt m e e x x +++=∴ 0,0x x t ==时当
,111
0c m
rt rt m e
x e e x x -+=+=∴ )4..(...........)1(1)(0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-+=
∴-rt
m m
e x x
x t x
备注：r 及m x 的确定方法：
由（4）式可得：rt
rt m
xe x e xx x ----=00)1(⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (5)
代入表格中两组数据得: r =0.2072
m x =464
4、结论:
由上函数可预测得:2010的人口为x(22):
x(22)= 464.0 2020的人口为x(23):
x(23)= 464.0
6、模型的讨论：
从上面的图中可以看出：由该模型计算的结果实际符合地非常好。

但是，由于该模型建立在环境所能容纳的最大人口数量m
x为定值的情况下，而对于实际情况而说，m
x的值很难确定，即使确定，也会因情况的变化而发生改变。

这也是在上图中，曲线的末端分叉的原因。

三、利用层次分析法对模型进行评价：
1、层次分析模型的构造
目标层: 准则层
最优方案A
绝对误差B
1
均方差B
2
相关系数B
3
方案层:
由图可知:
,评价，对现有的两种方案做具体的分析选取。

2．构造判断矩阵 建立层次模型后，，我们将各方面的因素两两比较，看它们对上一层某个准则的相对重要程度。

比较结果采用不1—9做标准。

将全部比较结果对某一上层因素的标准值列于表内，则得到判断矩阵，分别列表如下：
列表1：C 1—C 2相比对B 1重要程度及其判断矩阵
得：B 1= 1
7
1
7 1
列表2：C 1—C 2相比对B 2重要程度及其判断矩阵 得：B 2= 1
5
1 5 1
列表3：C 1—C 2相比对B 3重要程度及其判断矩阵
得：B 3=
1
3
1 3 1
1
31 5
1
A= 3 1 5
1
5 5 1
三、层次单排序及一致性检验：
根据判断矩阵计算对于上一层次某要素而言，及本层次与之有联系的要素重要程度次序的数值。

现用方根法计算判断矩阵的特征向量
B 1= 1 71 得： 1×7
1
7 1 M= 7×1
0．378 0.125
所以W= 因此W= 2．646 0.875
列表5
λ=2 CR=0
m ax
同理:
λ=2 CR=0
m ax
λ=2 CR=0
m ax
m ax =3.038 CR=0.0332
四、层次总排序
确定方案层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值： 根据总排序结果可以得出结论：C 2方案优于C 1方案
五、参考文献： 1、《系统工程实教程》 哈尔滨工业大学出版社 姚德民 李汉铃 编著 2、《概论论与数理统计》合肥工业大学出版社 费业泰 主编 3、《数学模型》 华南理工大学出版社 《数学模型》编写组 编。