知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。

一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

5.一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

例题：1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由.(1)2x 2-x-3=0. (2)4y-y 2=0. (3) t 2=0.(4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21x -3=0. (7)x x 32- =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2. (9)3x 2-x 4+6=0. (10)3x 2=4x-3. 1、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 （ ） （A ）2 （B ）－2 （C ）0 （D ）不等于2 2、已知关于x 的方程()()03122=+-++p x n x m ，当 时，方程为一次方程；当 时，两根中有一个为零a 。

3、已知关于x 的方程()2220m m xx m --+-=：（1） m 为何值时方程为一元一次方程； （2） m 为何值时方程为一元二次方程。

知识点二.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。

特别警示：（1）“0a ≠”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。

例题：1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.2(2)510 2.20x x +-= 2(3)2150x -= 2(4)30x x += (5)3)2(2=+x2、关于x的方程06232=-+x x 中a 是 ；b 是 ；c 是 。

知识点三.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。

例题：1、已知方程2390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是 。

2、设a 是一元二次方程052=+x x 的较大根，b 是0232=+-x x 较小根， 那么b a +的值是 （ ） （A ）-4 （B ）-3 （C ）1 （D ）2 3、已知关于x 的一元二次方程220x kx +-= 的一个解与方程131x x +=-的解相同。

（1） 求k 的值；（2） 求方程220x kx +-=的另一个解。

知识点四.一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法：（1） 直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x =（2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解； （3） 公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是x =()240b ac -≥；（4） 因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。

温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。

例题：解方程：1、方程220x x -=的解是： （ ） A.121x x == B.121,3x x =-= C.122,0x x == D.122,0x x =-= 2、方程)(211x x =-的较简便的解法应选用 。

解为 3、解下列方程：（1）()2331x x +=+ （2）2230x x +-= （3）2230x x +-=（4）()()y y 32322-=+ （5）()()1211312-=-x x（6）()2252)3(-=+x x (7)()()()2222263-++=-y y y知识点五.一元二次方程根的判别式对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式是24b ac -：（1） 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；（2） 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；（3） 当240b ac -<时，方程无实数根。

温馨提示：若方程有实数根，则有240b ac -≥。

例题：1、已知方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k= 。

2、当m 满足何条件时，方程()019122=-+--m x m mx 有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？3、关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 无实根，试解关于x 的方程()()02252=++--m x m x m 。

4、已知关于x 的一元二次方程()241210x m x m +++-=，求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。

知识点六.一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=。

温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。

例题：1、关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足1212x x x x +=，则k 的值为： （ ）（A ）314-或（B ）1- （C ）34（D ）不存在 2、已知,αβ是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是 （ ）（A ）3或-1 （B ）3 （C ）1 （D ）-3或1 3、方程2360x x --=与方程2630x x -+=的所有根的乘积是 4、两个不相等的实数m,n 满足2264,64m m n n -=-=，则mn 的值为 。

5、设12,x x 是关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两个根，121,1x x ++是关于x 的一元二次方程20x qx p ++=的两个根，则,p q 的值分别等于多少？知识点七.一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。

在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。

【考题1】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）A.9﹪B.10﹪C. 11﹪D.12 ﹪ 【考题2】（2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【考题3】如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 点以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.（1）如果点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于4？（2）如果点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，经过几秒钟，PQ 的长度等于5？一元二次方程综合复习1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是 （ ） A.()()23121x x +=+ B.21120x x+-= C.20ax bx c ++= D.2221x x x +=+ 2、方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ）（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±13、若1x =是一元二次方程220ax bx +-=的一个根，则a b += 。

4、实数a acb b 242-±是方程 的根 （ ）（A ）02=++c bx ax （B ）02=+-c bx ax（C ）02=--c bx ax （D ）02=-+c bx ax5、方程2250x -=的解是： （ ）A.125x x ==B.1225x x ==C.125,5x x ==-D.1225,25x x ==- 6、关于x 的一元二次方程2210kx x +-=两个不相等的实数根，则k 的取值 范围是 （ ）（A ）1k >- （B ）1k >- （C ）0k ≠ （D ）10k k >-≠且 7、在下列方程中，有实数根 的是 （ ）A ）2310x x ++= B1=- C ）2230x x ++= D ）111x x x =-- 8、关于x 的一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根12,x x ，且12124x x x x >+-，则m 的取值范围是 （ ）（A ）53m >- （B ）12m ≤ （C ）53m <- （D ）5132m -<≤ 9.若（x+y ）（1－x －y ）+6=0，则x+y 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．－2或3 D ．2或－3 10、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx －1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是__ _．11、填上适当的数，使等式成立：+-x x 52＝x (－ 2)．12、当x = 时，代数式23x x -比代数式221x x --的值大2 ． 13、某商品原价每件25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16元，则该玩具平均每次降价的百分率是 。