九年级下册知识点第一章 直角三角形边的关系1、正切:定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA ,即tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边。
①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比;③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
(P1-6,11、P3-6、P4-12)2、正弦:定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即sinA=∠A 的对边/斜边;3、余弦:定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即cosA=∠A 的邻边/斜边;4、余切:定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA ,即cotA=∠A 的邻边/∠A 的对边;5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
(通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:若∠A 为锐角,则①sin A = cos(90°−∠A )等等。
6、记住特殊角的三角函数值表0°,30°,45°,60°,90°。
(P4-13、P5-15,16、P10-11、P12-3)题6:计算:()3122101-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛- + ︒⋅︒︒-︒60tan 30cos 60cos 45cot7、当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
0≤sinα≤1,0≤cosα≤1。
同角的三角函数间的关系:t αn α·c ot α=1,tan α=sinα/cosα,cotα=cosα/sinα,sin 2α+cos 2α=18、在△ABC 中,∠C 为直角,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,则有:(1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2;(2)两锐角的关系:∠A +∠B=90°;(3)边与角之间的关系:sinα等;(4)面积公式;(5)直角三角形△ABC 内接圆⊙O 的半径为(a+b-c)/2;(6)直角三角形△ABC 外接圆⊙O 的半径为c/2。
(P18-13、P16-例5、P19-15)题7:小红的运动服被一个铁钉划破一个呈直角三角形的洞,其中两边分别为1 cm 和2 cm ,若用同色形布将此洞全部遮盖,那么这个圆的直径最小应等于( )。
A .2 cmB .3 cmC .2 cm 或3 cmD .2 cm 或5cm题8:长为12 cm 的铁丝,围成边长为连续整数的直角三角形,则斜边上的中线为________cm 。
题9:如图2,河对岸有铁塔AB .在C 处测得塔顶A 的仰角为30°,向塔前进14米到达D ,在D 处测得A 的仰角为45°,求铁塔AB 的高。
图2题10:已知:四边形ABCD 中,∠B =∠ADC =90°,AB =2、CD =1、∠A =60°,求:BC 。
图3第二章 二次函数 1、定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数。
自变量的取值范围是全体实数。
2、二次函数2ax y =的性质:(1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴;(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系:①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点。
(3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =)(0≠a 。
(P21-12)3、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线。
4、二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式, 其中ab ac k a b h 4422-=-=,。
5、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2;⑤c bx ax y ++=2。
6、抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点。
①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下;a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x 。
(P23-9,10)7、顶点决定抛物线的位置。
几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同。
8、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线ab x 2-=。
(P26-9) (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =。
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点。
注意:用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失。
题11:抛物线y =x 2+6x +4的顶点坐标是( )A .(3,-5)B .(-3,-5)C .(3,5)D .(-3,5)9、抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用(P29-例2,1,10)(1)a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样。
(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置。
由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线。
a b x 2-=,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>ab (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0<ab (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧。
(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。
当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0,c ):①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴;③0<c ,与y 轴交于负半轴。
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则 0<a b 。
10、几种特殊的二次函数的图像特征如下:11、用待定系数法求二次函数的解析式(P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16)(1)一般式:c bx ax y ++=2。
已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式。
(2)顶点式:()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式。
(3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=。
题12:已知关于x 的一元二次方程x 2-2(m -1)x +(m 2-1)=0,有两个实数根x 1、x 2,且x 12+x 22=4.求m 的值。
题13:先化简,再求值:225632111333x x x x x x -+⎛⎫⎛⎫÷-+ ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭ ,其中x =3题14:在平面直角坐标系中,B (3+1,0),点A 在第一象限内,且∠AOB =60°,∠ABO =45°。
(1)求点A 的坐标;(2)求过A 、O 、B 三点的抛物线解析式;(3)动点P 从O 点出发,以每秒2个单位的速度沿OA 运动到点A 止,①若△POB 的面积为S ,写出S 与时间t(秒)的函数关系;②是否存在t ,使△POB 的外心在x 轴上,若不存在,请你说明理由;若存在,请求出t 的值。
图412、直线与抛物线的交点(P47-5、P48-10,14)(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c )。
(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2)。
(3)抛物线与x 轴的交点。
二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根。
抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交;②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切;③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离。
(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点:同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。
当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根。
(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组 cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定: ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点;③方程组无解时⇔l 与G 没有交点。
(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故:ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第三章 圆1、定义:圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径, 圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。
对圆的定义的理解:①圆是一条封闭曲线,不是圆面;②圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。
2、点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为r ,点到圆心的距离为d ,则:①点在圆上<===>d=r ;②点在圆内<===>d<r ;③点在圆外<===>d>r 。