第二十二单元 二次函数1 一、二次函数概念：2 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的3 函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系4 数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．52. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：6 ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．7 ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．8二、二次函数的基本形式9 二次函数的基本形式()2y a x h k =-+的性质： 10 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

1112 三、二次函数图象的平移13 1. 平移步骤：14 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； 15 ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：16【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位172. 平移规律 18 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．19概括成八个字“左加右减，上加下减”．20 方法二：21⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 22 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）23 ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成24 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）25 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较26 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过27配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 28 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法29 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，30 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画31 图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴32 对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组33 关于对称轴对称的点）.34 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的35交点.36 六、二次函数2y ax bx c =++的性质37 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 38 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当392bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 402. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为412424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而42 减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．4344 七、二次函数解析式的表示方法45 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 462. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；47 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.48 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的49 二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛50物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.51八、二次函数的图象与各项系数之间的关系52 1. 二次项系数a53二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．a 决定了抛物线开口的54 大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 55 2. 一次项系数b56 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．57 ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，58概括的说就是“左同右异”59 3. 常数项c c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．60 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 61 二次函数解析式的确定： 62 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次63函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，64 有如下几种情况：65 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；66 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 67 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 68 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．69九、二次函数与一元二次方程： 70 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：71 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情72况.73 图象与x 轴的交点个数：74 ① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的7512x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离76 21AB x x =-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，77 图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有78 0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 79 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 80 3. 二次函数常用解题方法总结： 81 ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；82⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点83式； 84 ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次85 函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；86 ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的87 点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.8889第一单元二次根式90911、二次根式92式子)0(≥aa叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方93数a必须是非负数。

942、最简二次根式95若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得96尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

97化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：98（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质99把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

100（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽101方的因数或因式开出来。

1023、同类二次根式103几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做104同类二次根式。

1054、二次根式的性质106（1）)0()(2≥=aaa107)0(≥aa108（2）==aa2109)0(<-aa110（3）)0,0(≥≥•=babaab111（4）)0,0(≥≥=bababa1125、二次根式混合运算113二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有114括号的先算括号里的（或先去括号）。

115116117第二单元一元二次方程118119一、一元二次方程1201、一元二次方程121含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

1222、一元二次方程的一般形式123 )0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，124等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一125 次项系数；c 叫做常数项。

126127 二、一元二次方程的解法128 1、直接开平方法129 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直130接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，131 a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有132 实数根。

133 2、配方法134 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数135学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式136 222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有137 222)(2b x b bx x ±=+±。

138 3、公式法139 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方140法。

141 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：142)04(2422≥--±-=ac b aac b b x1434、因式分解法144 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，145是解一元二次方程最常用的方法。

146 三、一元二次方程根的判别式 147 根的判别式148 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程149)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ 150 ①当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；151 ②当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 152 ③当△<0时，一元二次方程没有实数根153 四、一元二次方程根与系数的关系154 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么abx x -=+21，155acx x21。