第一章1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。
3.14,7/100)4(143.0,7/1)2(0031.0,1000/)3(1.3,)1(========x a x a x a x a ππ试估计x 的绝对误差和相对误差。
解：（1）0132.00416.01.3≈=≈-=-=a ee x a e r π （2）0011.00143.0143.07/1≈=≈-=-=a ee x a e r （3）0127.000004.00031.01000/≈=≈-=-=aee x a e r π （4）001.00143.03.147/100≈=≈-=-=aee x a e r2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。
试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。
解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10-4x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σni=1∣∂f/∂x i ∣δx ie r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3/ x 1δx 4］ =0.5019373、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。
解：设=()u f x ，()()()()()()||||||||||()||()||||()||()||||r r rx e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ=≈==≤()||10.2(())||()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x xδδδδ==⋅⋅==4、长方体的长宽高分别为50cm ，20cm 和10cm ，试求测量误差满足什么条件时其表面积的误差不超过1cm 2。
解：设2()S xy yz zx =++{}[]{}(,,)(,,)(,,)()||()||()||()(,,)(,,)(,,)||||||max (),(),()2()2()2()max (),(),()1S x y z S x y z S x y z e S e x e y e z x y zS x y z S x y z S x y z e x e y e z x y z y z z x x y e x e y e z ∂∂∂≤++∂∂∂⎛⎫∂∂∂≤++ ⎪∂∂∂⎝⎭=+++++<{}[]11max (),(),()2()2()2()4()110.0031254(502010)320e x e y e z y z z x x y x y z <=+++++++===++所以，测量误差小于0.00625时其表面积的误差不超过1cm 2。
5、设x 和y 的相对误差为0.001，则xy 的相对误差约为多少？解：由公式：i r ini n in ni i ir x x fx x f x x x f x x f u δδδ∂∂=∂∂=∑∑==1111),,(),,()(则有：002.0001.0001.0)()()()(=+=+=≤y x xy xy e r r r r δδδ xy 的相对误差约为0.002.6. 改变下列表达式，使计算结果更准确。
（1）1,||1x x x +-≥ （2）11,||1121xx x x--≤++ （3）(1cos ),0,||1x x x x-≠≤ （4）11,||1x x x x x +--≥解：（1）111x x x x+-=++ （2）2112121(12)(1)x x x x x x --=++++ （3）2(1cos )sin (1cos )x x x x x -=+（4）22112(11)x x x xx x x +--=++-7、计算6(21)-的近似值，取2 1.414≈。
利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。
（1）61(21)+ （2）3(322)-（3）31(322)+ （4）99702-解：计算各项的条件数'()(())||()xf x cond f x f x = 11 1.41461(),(())| 3.5145(1)x f x cond f x x ===+ 322 1.414()(32),(())|49.3256x f x x cond f x ==-= 331.41431(),(())| 1.4558(32)xf x c o n d f x x ===+ 441.414()9970,(())|4949x f x x c o n d f x ==-= 由计算知，第一种算法误差最小。
n n 118 ∞=∑、考虑无穷级数，它是微积分中的发散级数。
在计算机上计算该级数的部分和，会得到怎样的结果？为什么？解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。
因为随着n 的增大，会出现大数吃小数的现象。
9、 通过分析浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。
解：浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上离原点越近，分布越稠密；离原点越远，分布越稀疏。
一般浮点数集的分布也符合此规律。
10、试导出计算积分1(1,2,3,4)14n n x I dx n x ==+⎰的递推计算公式111()4n n I I n -=-，并分析此递推公式的数值稳定性。
解：111111110000141()14414414n n n n n n n x x x x x I dx dx x dx dx x x x ----+-===-+++⎰⎰⎰⎰111()4n n I I n -∴=- 分析计算的误差，设初值0I 的误差为000I I e -=，递推过程的舍入误差不计，并记n n n I I e -=，则有 。
显然，随着计算的递推，误差越来越小，因此递推公式是稳定的。
11、为减少乘除法运算次数，应将下面算式怎样改写？ 0114)1(...)(41e I I I I e n nn n n n n -==--=-=--3217151318)()(-+-+-+=x x x y 解：令11-=x u ，则18357+++=u u u y ))(( 12、试推导求函数值)(x f y =的绝对误差和相对误差。
解：**(())()()'()()'()()e f x f x f x f x x f x e x ξ=-=-≈***()()'()()'()()'()(())()()()()()r r f x f x f x x f x x x f x e f x x x e x f x f x f x x f x ξ---==≈=13、试推导求函数值),(y x f 的条件数)),((y x f Cond 。
解：(,)(,)(,)(,)()()f x y f x y f x y f x y x x y y x y∂∂=+-+-+∂∂''(,)(,)(,)(,)()()(,)(,)(,)y x yf x y xf x y f x y f x y x x y y f x y f x y x f x y y---≈+''''(,)(,)(,)(,)()()(,)(,)(,)(,)(,)()()max ,(,)(,)y x yxyf x y xf x y f x y f x y x x y y f x y f x y x f x y y yf x y xf x y x x y y f x y f x y x y ---≤+⎛⎫⎧⎫--⎪⎪≤ +⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭'(,)'(,)((,))(,)(,)x y xf x y yf x y Cond f x y f x y f x y ∴=+14、序列{}n x 满足递推公式⎩⎨⎧⋅⋅⋅=-=≈=+),,(.1057321310n n x x x n n 求计算到20x 的的误差，并讨论计算过程的稳定性。
解：000x x e -=000111555e x x x x e =-=-=021*********e x x x x e =---=-=)()(…9020201084545⨯≈=.e e误差逐渐增大，计算不稳定15、写出下面Matlab 程序所描述的数学表达式。
（1）for j=1: nfor i=1: my ( i )= A (i, j)*x(j)+y(i) end end (2)for j=1:ny=x(j)*A(:,j)+y end解：（1）m n nm R y R x RA y Ax y ∈∈∈+=⨯,,,（2）y Ax y += A 为n 列的矩阵，x 为n 行1列的列向量，y 为与A 有相同行数的列向量16、17、写出下面Matlab 程序所描述的数学表达式。
(1)(2) for i=1: mfor j=1: nA(i,j)= A (i, j)+x(i)*y(j) end end(2) for j=1:mA(:,j)= A (:, j)+ y(j)* x(:) end解：(1) n m nm R y R x RA y x A A ⨯⨯⨯∈∈∈+=11,,,*(2) x y A A *+= A 为m 列的矩阵,y 为与A 有相同行数的列向量。