第九章习题解答1.已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。

解：,24)2(,33)1(≤-≤-λλ2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞， 试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii aa 1λ.解：,x Ax λ=∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11j n j i i ij i ii x ax a ∑≠==-1)(λj n j i i ij j n j i i ij i ii x a x ax a ∑∑≠=≠=≤=-11λ∑∑≠=≠=≤≤-nj i i ij i j n j i i ijii a x x a a 11λ3.用幂法求矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。

解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1];for k=1:100y=A*z;[c,i]=max(abs(y));if y(i)<0,c=-c;endz=y/cif abs(c-d)<0.0001,break; endd=cend11.0000=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)===========强特征值为11，特征向量为T 0.7500)1.0000 0.5000(。

4.用反幂法求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111132126A 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。

解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1];for k=1:100AA=A-6*eye(3);y=AA\z;[c,i]=max(abs(y));if y(i)<0,c=-c;endz=y/c;if abs(c-d)<0.0001,break; endd=cendd=6+1/c0.7764=c ,0.2422) 0.5229 1.0000(z 0.7763=c ,0.2422) 0.5230 1.0000(z 0.7767 =c ,0.2421) 0.5227 1.0000(z 0.7754=c ,0.2425) 0.5236 1.0000(z 0.7794 =c ,0.2411) 0.5210 1.0000(z 0.7675 =c ,0.2457) 0.5286 1.0000(z 0.8042 =c ,) 0.2303 0.5066 1.0000 (z 0.7000= c ,0.2857) 0.5714 1.0000(z 1.1111 = c ,0.1000) 0.4000 1.0000(z 9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)========= 最接近6的特征值为6+1/c=7.2880，特征向量为T 0.2422)0.5229 1.0000(。

5.设n n R A ⨯∈非奇异，A 的正交分解为A=QR ，作逆序相乘A 1=RQ ，试证明（1） 若A 对称则A 1也对称；（2） 若A 是上Hessenberg 阵，则A 1也是上Hessenberg 阵。

证明：（1）AQ Q AQ Q RQ A QR A T ====-11,，111,A A AQ Q Q A Q A T T T T ∴===对称（2）A 是上Hessenberg 阵，用Givens 变换对A 作正交分解，即),1()2,1()2,1()3,2(),1()2,1()3,2(),1(,)2,1()3,2(),1(1n n R AR R R n n R AQ Q A R R n n R Q R A R R n n R T T T T --==-==- 显然A 1也是上Hessenberg 阵。

6.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111A （1）任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代，求A 的强特征值和特征向量；（2）用QR 算法作一次迭代，求A 的特征值；（3）用代数方法求出A 的特征值和特征向量，将结果与（1）和（2）的结果比较。

解：（1）2.6181=c ,1.0000) 0.6180(z 2.6182=c ,1.0000) 0.6181(z 2.6190 =c ,1.0000) 0.6182(z 2.6250 =c ,) 1.0000 0.6190 (z 2.6667= c ,1.0000) 0.6250(z 3 = c ,1.0000) 0.6667(z 6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)====== A 的强特征值为2.6181，特征向量为T1.0000) 0.6180(（2）for i=1:10[Q,R]=qr(A);A=R*Qend⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0.3820 0.00000.0000 2.6180,0.3820 0.0002- 0.0002- 2.6180,0.3820 0.00160.0016 2.61800.3820 0.0112- 0.0112- 2.6180,0.3846 0.07690.0769 2.6154,0.5000 0.5000-0.5000- 2.5000654321A A A A A A A 的特征值为2.6180，0.3820（3）132111I -A 2+-=--=λλλλλ，特征值55.05.11,2±=λ 特征向量T )1,55.05.0(±-7. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111120102A （1）用Householder 变换化A 为对称三对角阵1A 。

（2）用平面旋转阵对1A 进行一步QR 迭代计算出2A 。

解：（1）,)1,1(,)0,1(,1)1(T T y x u y Hx x-=-==== ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=2 1- 01- 1 10 1 2,010100001,0 11 022HAH H u u uu I H T T (2) ,0.0000- 0.0000- 0 0.0000- 2.4000 0.48990.0000- 0.4899 2.60002⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=A8. 用带位移的QR 方法计算下列矩阵的全部特征值。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110121013)2(,320010124)1(A A 解：（1）for k=1:20p=A(3,3);AA=A-p*eye(3);[Q,R]=qr(AA);A=R*Q+p*eye(3)end ,3.0000 0 0 2.0000 1.0000 0 2.1213 0.7071- 4.00001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=A全部特征值为 4 , 1 , 3(2),0.2679 0 0 0.0000- 2.0000 0.0000-0.0000- 0.0000- 3.7321,0.2679 0 0 0.0000- 2.0000 0.00010.0000 0.0001 3.7321,0.2679 0 0 0.0000- 2.0000 0.00040.0000 0.0004 3.7321,0.2679 0 0 0.0000- 2.0000 0.00160.0000 0.0016 3.7320,0.2679 0.0000 0 0.0000- 2.0000 0.0062 0.0000 0.0062 3.7320,0.2679 0.0000 0 0.0000- 2.0004 0.02490.0000 0.0249 3.7317,0.2680 0.0072 0 0.0072 2.0057 0.09930.0000 0.0993 3.7263,0.6667 0.7454 0 0.7454 1.7333 0.48990.0000 0.4899 3.600014131197531⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=A A A A A A A A 全部特征值为 3.7321, 2.0, 0.26799. 设n n R A ⨯∈，且已知其强特征值1λ和对应的特征向量)1(x ，（1）证明：若构造Householder 阵H 使1)1(ke Hx =（常数n T R e k ∈=≠)0,...,0,1(,01），则必有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110A x HAH λ 其中)1(1)1()1(1,-⨯-⨯-∈∈n n n R x R A ，且A 的其余n-1个特征值就是1A 的特征值。

（2）以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2323A 为例，已知T x )1,2(,4)1(1==λ，用以上方法构造H 阵，并求出A 的第二个特征值2λ。

解：（1）,)1(1)1(x Ax λ=构造Householder 阵H 使1)1(ke Hx =,11)1(1)1(ke Hx HAx λλ==,,)()(111111)1(e HAHe ke ke HAH Hx HAH λλ===即HAH 的第一列为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡001 λ, ,011⎥⎦⎤⎢⎣⎡*=A HAH λ （2）,)1,52(,)0,5(,5)1(T T y x u y Hx x -=-====⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-= 3.0000- 0.0000 1.0000 4.0000,0.8944- 0.4472 0.4472 0.89442HAH u u uu I H T T A 的第二个特征值2λ为 -3。