新知三： 子集、真子集、空集
①如果集合A B ⊆，并且存在元素x B ∈且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 。

②不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，并规定：空集是任何集合的子集。

★例3：写出集合{1,0,1}-的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
★★变式3：已知集合{}{}1,21,2,3,4,5P ⊆⊆，那么满足条件的集合P 的个数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【点评】若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22
n -个。

★★例4：已知集合{13}A x x =-≤≤，2{,}B y y x x A ==∈，{2,}C y y x a x A ==+∈，若满C B ⊆足，求
实数a 的取值范围。

★变式4：集合{}1,2,3,4A =，2{0}B x N x a =∈-=，若满足B A ⊆，求实数a 的值组成的集合。

★★例5：已知集合A ={|25}x x -<≤，{|121}B x m x m =+-≤≤且B A ⊆，求实数m 的取值范围。

★★变式5：若集合{}
2|20M x x x =--=，{}|10N x ax =-=，且N M ⊆，求实数a 的值。

【点评】当出现“A B ⊆”这一关系时，首先是讨论A 有没有可能为空集，因为A =∅ 时满足A B ⊆。

【考点3】集合的新定义问题 ★★例6 若集合A 具有以下性质：
(Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1
x
∈A .
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是()
(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
(2)有理数集Q是“好集”；
(3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0 B．1 C．2 D．3
★★★(2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A B 中元素的个数为()
A．77 B．49 C．45 D．30
思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；
(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
典例分析
1.典例
★★例1(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()
A．1 B．3 C．5 D．9
★(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．。