第二讲质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住： 1 不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把 30 分解质因数。
解： 30＝2×3×5。
其中 2、 3、 5 叫做 30 的质因数。
又如 12＝2×2×3＝22× 3， 2、 3 都叫做 12 的质因数。
二、例题例1 三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数 .解：∵ 210=2×3×5×7∴可知这三个数是5、 6 和 7。
例2 两个质数的和是 40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把 40 表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11＋ 29=3+37。
∵17×23＝391＞ 11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3 自然数 123456789 是质数，还是合数？为什么？解： 123456789是合数。
因为它除了有约数 1 和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
例 4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在 1 与 20 之间，那么显然其中最多有4 个质数（如： 1～9 中有 4 个质数 2、3、5、7）。
如果这连续的九个自然中最小的不小于 3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有 5 个.这 5 个奇数中必只有一个个位数是 5，因而 5 是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数 .这样，至多另 4 个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有 4 个质数。
例5 把 5、6、 7、 14、15 这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解：∵ 5=5，7=7， 6=2×3，14＝2×7，15=3×5，这些数中质因数 2、3、5、7 各共有 2 个，所以如把 14（=2×7）放在第一组，那么7 和 6（=2× 3）只能放在第二组，继而15（＝ 3×5）只能放在第一组，则 5 必须放在第二组。
这样 14×15=210=5×6×7。
这五个数可以分为14 和 15， 5、 6 和 7 两组。
例6 有三个自然数，最大的比最小的大 6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是 42560.求这三个自然数。
分析先大概估计一下， 30× 30×30=27000，远小于 42560.40×40×40＝64000，远大于 42560.因此，要求的三个自然数在30～40 之间。
解： 42560=26×5×7×19＝25×（ 5×7）×（ 19×2）＝32×35×38（合题意）要求的三个自然数分是32、35 和 38。
例7 有 3 个自然数 a、b、c.已知 a×b=6，b×c=15， a×c＝ 10.求 a× b× c 是多少？解：∵ 6＝ 2× 3， 15=3× 5， 10＝2×5。
（a×b）×（ b× c）×（ a×c）=（2×3）×（ 3×5）×（ 2×5）∴a2×b2× c2=22×32× 52∴（ a×b×c）2＝（ 2×3×5）2a× b× c=2×3×5＝30在例 7 中有 a2＝22，b2=32，c2=52，其中 22=4，32＝9，52＝25，像 4、9、25的数，推及一般情况，我把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，⋯， 112 =121，122=144，⋯其中 1，4，9，16，⋯， 121， 144，⋯都叫做完全平方数 .下面我察一下，把一个完全平方数分解因数后，各因数的指数有什么特征。
例如：把下列各完全平方数分解因数：9，36，144， 1600， 275625。
解： 9=32 36=22×32 144=32×241600=26× 52275625=32× 54×72可，一个完全平方数分解因数后，各因数的指数均是偶数。
反之，如果把一个自然数分解因数之后，各个因数的指数都是偶数，那么个自然数一定是完全平方数。
如上例中， 36＝62，144=122，1600=402，275625=5252。
例8 一个整数 a 与 1080 的乘是一个完全平方数 .求 a 的最小与个平方数。
分析∵a 与 1080 的乘积是一个完全平方数，∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。
解：∵ 1080× a=23×33×5×a，又∵ 1080=23×33×5 的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，∴a 必含质因数 2、3、5，因此 a 最小为 2×3×5。
∴1080×a＝1080×2×3× 5＝ 1080× 30＝32400。
答： a 的最小值为 30，这个完全平方数是32400。
例9 问 360 共有多少个约数？分析 360=23×32× 5。
为了求360 有多少个约数，我们先来看32×5 有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以 1、2、22、23，即得到 23× 32×5（ =360）的所有约数 .为了求32×5 有多少个约数，可以先求出5 有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以 1、3、32，即得到 32× 5 的所有约数。
解：记 5 的约数个数为 Y 1，32×5 的约数个数为 Y 2，360（=23×32×5）的约数个数为Y3.由上面的分析可知：Y3=4× Y 2，Y 2＝3× Y 1，显然 Y 1=2（ 5 只有 1 和 5 两个约数）。
因此 Y 3＝4×Y 2 =4×3×Y 1=4×3×2=24。
所以 360 共有 24 个约数。
说明： Y 3=4× Y 2中的“ 4”即为“ 1、 2、22、23”中数的个数，也就是其中2 的最大指数加1，也就是360＝23×32×5 中质因数2 的个数加1； Y2=3×Y 1中的“ 3”即为“ 1、3、32”中数的个数，也就是 23× 32×5 中质因数 3 的个数加 1；而 Y 1 =2 中的“ 2”即为“ 1、5”中数的个数，即23× 32×5 中质因数 5 的个数加 1.因此Y3＝（ 3＋ 1）×（ 2+1）×（ 1+1） =24。
对于任何一个合数，用类似于对 23× 32×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加 1 的连乘的积。
例10 求 240 的约数的个数。
解：∵ 240＝24×31× 51，∴240 的约数的个数是（4＋1）×（ 1+1）×（ 1＋ 1）=20，∴240 有 20 个约数。
请你列举一下 240 的所有约数，再数一数，看一看是否是20 个？习题二1.边长为自然数，面积为 105 的形状不同的长方形共有多少种？2.11112222 个棋子排成一个长方阵 . 每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多 1 个. 这个长方阵每一横行有多少个棋子？3.五个相邻自然数的乘积是 55440，求这五个自然数。
4.自然数 a 乘以 338，恰好是自然数 b 的平方 . 求 a 的最小值以及 b。
5.求 10500 的约数共有多少个？习题二解答1.∵105=3× 5× 7，105=1× 105=3×35=5×21=7×15，∴共有 4 种。
2.分析每一横行棋子数比每一竖列棋子数多 1 个。
横行数与竖列数应是两个相邻的自然数.解： 11112222=3333×3334答案为 3334。
3.7、 8、 9、 10、11。
4.分析∵自然数 a 乘以 338，恰好是自然数 b 的平方，∴a 与 338 的积分解质因数以后，每个质因数的个数之和都是偶数。
解：∵ 338=2×13×13，∴a＝2，b＝2×13＝ 26。
5.解：∵ 10500=22×3×53×7，又∵（ 2＋ 1）×（ 1+1）×（ 3+1）×（ 1+1） =48。
∴10500 的约数共有 48 个 .。