不定积分例题
例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ）
A 、x e 2-
B 、2-x e 2-
C 、4-x e 2-
D 、4x e 2-
分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2-
所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2-
答案：B
例2、已知⎰+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ）
A 、x
x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对⎰+=c x dx x xf sin )(两边求导。

得x x xf cos )(=，所以=
)(x f x x cos 答案：C
例3、计算下列不定积分
1、dx x x 23)1(+
⎰ 2、dx x
e e x x x )sin 3(2-+⎰ 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形
解：1、dx x x 23)1
(+⎰dx x x x )12(3
++=⎰ c x x x dx x dx x xdx +-+=++=⎰
⎰⎰22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+⎰dx x
dx e x ⎰⎰+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x
⎰-21
2、dx e e x x ⎰+2)
1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ϕ=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ϕ=求积分。

解：1、dx x x
⎰-21c x x d x +--=---=⎰222
1)1(1121 2、dx e e x x ⎰+2)
1(c e e d e x x x ++-=++=⎰11)1()1(12 例5、计算⎰+xdx x sin )1(
分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为⎰udv ；②代公式，⎰udv ⎰-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分⎰vdu
解：⎰+xdx x sin )1(⎰⎰⎰--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin
⎰+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (。