作业习题 求下列不定积分。

1、dx x
⎰
+sin 11；2、dx e x ⎰+-23；3、dx x x x ⎰+--22)83(32；4、dx e e x
x )sin(⎰； 5、dx e x ⎰-2； 6、dx x
a x ⎰-2
2
1； 7、dx x
x x ⎰
-3
；
8、dx x x x
⎰
+)
1(arctan 2
2；9、dx x e x ⎰+22)1(tan ；10、dx x x ⎰++)1ln(2； 11、⎰-xdx e x
cos ；12、dx x x x x x ⎰+++-232223；13、dx x
⎰+sin 451
； 14、dx x x x -+⎰111；15、dx x x ⎰+)1(124； 16、dx b x a x ⎰++)
)((1。

作业习题参考答案：
1、解：dx x ⎰
+sin 11
⎰+-=-=C x x dx x
x sec tan cos sin 12。

2、解：dx e x ⎰+-23C e x d e x x +-=+--=+-+-⎰23233
1
)23(31。

3、解：dx x x x ⎰+--2
2)83(32C x x x x x x d ++--=+-+-=⎰831)83()83(2222。

4、解：dx e e x x )sin(⎰C e de e x x x +-==⎰cos sin 。

5、解：dx e x ⎰-2
C t
t t dt dt dt t t t e t x +-=+-=+⋅
-=⎰⎰⎰2
arctan 24224222222 C e e x x
+--
-=2
2arctan
2
422。

6、解：dx x
a x ⎰
-2
2
1
C x
x a a a C t t a t a dt t a x +--=+-==⎰2
2ln 1cot csc ln 1sin sin 。

7、解：dx x
x x
⎰
-3dt t t t t t t dt t t t t x )11
1(6623452386
-++++++=-=⎰⎰ C t t t t t t t +-++++++=)1ln 2
3456(62
3456
C x x x x x x x +-++++++=)1ln 2
3456(661613
1
21
32
65。

8、解：dx x x x ⎰
+)
1(arctan 2222
21sin cos cot )1(csc arctan t dt t t t t dt t t x t -+-=-=⎰⎰ C t t t t +-+-=22
1
sin ln cot
C x x x x x +-++-
=22)(arctan 2
1
1ln arctan 。

9、解：dx x e x ⎰+22)1(tan ⎰⎰+=xdx e xdx e x x tan 2sec 222
C x e xdx e xdx e x e x x x x +=+-=⎰⎰tan tan 2tan 2tan 2222。

10、解：dx x x ⎰++)1ln(2dx x
x x
x x
x x x )11(11)1ln(2
2
2++
++-++=⎰
dx x x x x x ⎰+-++=2
21)1ln(
)1(121)1ln(22
2⎰
++-++=x d x x x x
C x x x x ++-++=221)1ln(。

11、解：⎰-xdx e x cos dx x e x e x d e x x x ⎰⎰---+==sin sin )(sin
⎰⎰------=-=xdx e x x e x d e x e x x x x cos )cos (sin )(cos sin
⎰-xdx e x cos C x x e x
+-=
-)cos (sin 2
1。

12、解：dx x
x x x x ⎰+++-23
2223dx x x x ])1(6
112[2+-+-=⎰ C x x x +++
+-=1
6
1ln ln 2。

13、解：令2tan x t =，则2
12t
dt
dx +=， dx x ⎰+sin 451
=dt t t dt t t t ⎰⎰
++=+⋅
++5852
12124
5122
2
C x C t t dt ++=++=++=
⎰)3
4
2tan 35arctan(32345arctan 32)5
4()53(5222。

14、解：令,11t x x =-+则dt t t
dx t t x 2
222)1(4,11+=+-= dx x x x -+⎰111⎰⎰⎰++-=+⋅⋅-+=1212)1(411222222t dt t dt dt t t t t t
C x x x
x x x C t t t +-++-++--+=+++-=11arctan 21111ln arctan 211ln。

15、解：dx x x ⎰+)1(12
4dt t t dt t t t x )111(122241
++--=+-=⎰⎰- C x x x
C t t t +-+-=++--=1
arctan 131)arctan 3(33。

16、解：),(a x a b b x ++-=+令,)(2t sh a b a x -=+ 则shtchtdt a b dx )(2-=
dx b x a x ⎰
++)
)((1⎰
-+---=t
sh a b a b t sh a b shtchtdt a b 2
2
)([)()(2
⎰+-+=+=C a
b a
x acsh
C t dt 222。

1、 符号函数⎪⎩
⎪
⎨⎧-==,1,0,
1sgn )(x x f ,0,0,0<=>x x x 在),(+∞-∞内是否存在原函
数？为什么？
2、 求积分dx x x p )ln 1(ln)(+⎰。

3、 设有⎰=)()(x F dx x f ，)(x f 可微，并且)(x f 的反函数)(1x f -存在，
则⎰+-=---C x f F x xf dx x f )]([)()(111 讨论习题参考答案：
1、 解：不存在。

假设有原函数)(x F ，⎪⎩
⎪
⎨⎧+-+=,,,)(c x c c x x F ,0,0,
0<=>x x x 但)(x F 在
0=x 处不可微，故假设错误，)(x f 在),(+∞-∞内不存在原函数。

2、 解：dx x x x p )ln 1()ln (+⎰)ln ()ln (x x d x x p ⎰=
⎪⎩
⎪
⎨⎧+++=+,
ln ln ,1)ln (1
C x x C p x x p .1,1-=-≠p p
3、 解：由分部积分公式
⎰
⎰----=)]([)()(111x f xd x xf dx x f
设t=)(1x f -，则)(t f x =；
于是⎰⎰+=+==--C x f F C t F t f x f xd )]([)()()]([11， 所以⎰+-=---C x f F x xf dx x f )]([)()(111。

1、 在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？
2、 在有理式积分中，将分式分解成部分分式之和时，应注意什么？ 思考题参考答案：
1、 答：注意前后几次所选的u 应为同类型函数。

例如：对xdx e x cos ⎰，第一次时若选x u cos 1=，
⎰⎰+=⇒xdx e x e xdx e x x x sin cos cos ，
第二次时仍应选x u sin 1=，
xdx e x e x e x x x cos sin cos ⎰-+=。

2、答：分解后的部分分式必须是最简分式。