第八章 相量法
§ 8. 1 复数
1. 复数的表示形式
F a jb 代数式
F | F | (cos j sin )
Im b
|F|
o
三角函数式
F | F | e jθ
指数式
F a Re
F | F | ejθ | F | θ
极坐标式
2. 复数运算 (1)加减运算——代数形式 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) (2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
如果F1=F2 则 a1=a2，且b1=b2
或 F1 F2 且θ1 θ2
作业：8-2 （1）、8-3、8-4
8.2 正弦量
1. 正弦量
i
T
波形
瞬时值表达式
0
t
i(t)=Imcos(w t+y)
正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT )
周期T 和频率f
周期T ：重复变化一次所需的时间。
单位：秒s
t
y
波形图
y y =0y =/2 y =-/2
一般 |y |
三、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
u, i
设 u(t)=Umsin(w t+y u)
u
i
i(t)=Imsin(w t+y i)
相位差
0
wt
yu yi
= (w t +y u) - (w t +y i)
= y u-y i
四. 有效值(effective value)
1. 定义
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
有效值也称方均根值(root-meen-square，简记为 rms。)
电压有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
2. 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imsin(w t + y )
def
复数 ejy = 1∠y 称为旋转因子
特
j
e2
cos
j sin
j
殊
2
2
旋 转
e j(
2
)
c
o
s
(
2
)
j
s i n (
2
)
j
因 子
e j( ) cos( ) j sin( ) 1
+j , –j , -1 都可以看成旋转因子。
3. 复数相等的运算
F1 a1 jb1 F1 θ1 F2 a2 jb2 F2 θ2
相量与正弦量不相等，但是一一对应
注意 统一采用cos函数表示正弦量
例 i 14.14sin(103t 60o)A 试用相量表示 i
解：统一采用cos函数表示正弦量 因此电流i的表达式应为
i 14.14cos(103t 60o 90o)A 14.14cos(103t 150o)A 14.14cos(103t 30o)A
i(t)=Imcos(w t +y )
i + u_
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值) Im
(2) 角频率(angular frequency) w
(3) 初相位(initial phase angle) y
初相位 y
i i(t)=Imsin(w t+y)
i
Im
wt
00 0 0
Re[F(t)] 2Ucos(w t Ψ ) u(t)
结论
任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的
复数函数。
u
2Ucos(w t Ψ )
F(t)
j(w t Ψ )
2Ue
F (t) 2Uej(w tΨ ) F(t) 还可以写成 F (t) 2Ue jy ejwt
定义正弦量u对应的相量为
jy
U Ue
F(t) 则可以写成
F (t) 2Uejwt
u
2Ucos(w t Ψ )
jΨ
U Ue
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
例1 i 141.4cos(314t 30o )A
u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示 i, u .
解
•
I
10030
o
I
1 T i 2 (t )dt
T0
I
1 T
T 0
I
2 m
sin2
(
wt
y
)
dt
T sin2 ( wt y ) dt
T 1 cos 2(wt y ) 1
dt t
T
1 T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
注意:只适用正弦量
i(t ) Im sin(wt y ) 2I sin(wt y )
频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：赫(兹)Hz
正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路
研究正弦电路的意义 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
特 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数；
②正弦信号容易产生、传送和使用。
二. 正弦量的三要素：
A1 A2
A1 e jθ1 A 2 e jθ2
A A e j(θ1 θ2 ) 12
A1 A 2 A1 A 2 (ψ1 ψ2 )
A1 A2
A1 e jθ1 A 2 e jθ2
A e 1 j(θ1 θ2 ) A2
A1 A2
A1 A2
(ψ1 ψ2 )
3. 旋转因子
Aejy
A逆时针旋转一个角度y ，模不变
A,
•
U 220 60o V
例2
已知
•
I
50 15
A,
f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解
i 50 2cos(314t 15 ) A
任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的相量
jΨ
u 2Ucos(w t Ψ ) U Ue
正弦量u包含了三要素：U、 、w， 相量U包含了两个要素：U , 。
注意
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。
②交流测量仪表的电压、电流读数一般为有效值。
③区分瞬时值、最大值、有效值的符号。
i, Im , I , u,Um ,U
掌握内容：
1.正弦量的初相位（ y <π）
2.相位差的计算（ | | ）
一般 | |
>0， u 领先(超前)i ，或i 落后(滞后) u <0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
特殊相位关系：
= 0， 同相：
u, i
u
i
0
wt
= ( 180o ) ，反相：
u, i
i
u
0
wt
u, i u i
0
= 9பைடு நூலகம்° 正交
u 领先 i 90°
wt
或 i 落后 u 90°
3.有效值的计算
8.3 相量法的基础
1. 问题的提出
u 2U cos(w t y )
+R
u
-
iL
L
+
u
-C
C
电路方程：
LC
d 2uC dt
RC
duC dt
uC
u(t)
数学运算较复杂
2. 正弦量的相量表示
F (t) 2Uej(w tΨ )
2Ucos(wt Ψ ) j 2Usin(wt Ψ )