14
利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响 应
iL ( t) iC ( t) C d d u t C ( 3 e 2 t 4 e 4 t) A ( t 0 )
从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电 路各元件的能量交换过程。
15
二、临界情况
当R2
L C
时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实
T
3T
o
4 t4 t5 t6 t7 t8 4
T
t
t1 t2 t3
T
U0 iL(t)
2
t9 t10 t11 t12
Im
T
T
3T
o
4
2
4
T
t
Im t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12
图8-2 LC 振荡电路波形
5
三、 LC 振荡电路的物理过程
1、[0,1/4T] : C放电，L充电，电场能向磁场能转化； 2、[1/4T,1/2T]：L放电，C反向充电，磁场能向电能转化； 3、[1/2T,3/4T]：C放电，L反向充电，电场能向磁场能转化； 4、[3/4T,T] ：L放电，C充电，磁场能向电场能转化。
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 零输入响应方程为
Ld C d 2 tu 2 CRd C d u tC u C0 (8 2 )
其特征方程为
L2 C Rs C 10 s (8 3 )
其特征根为
s1， 22R L
R21 2L LC
(84)
9
电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，
L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况
iL
+
uC_
C
L
解：
图8-1 LC振荡回路
得到二阶微分方程：
uC
uL
L diL dt
diL dt
iL
iC
C duC dt
duC dt
d 2uC dt2
uC
0
解答形式：
u C (t)co t s iL(t)sitn
储能：
w (t)1L2i1C2 u1J
2
2
2 4
二、LC 振荡电路波形
uC(t) U0
1. R 2
L C
时，
s1 , s2
为不相等的实根。过阻尼情况。
2.
R2
L C
时，s1 , s2 为两个相等的实根。临界阻尼
情况。
3. R 2
L C
时， s1 , s2 为共轭复数根。欠阻尼情况。
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二、过阻尼情况
当 R2
L C
时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的
实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式
图8－4 RLC串联二阶电路
解：将R，L，C的量值代入特征根表达式，计算出固有频率
s1 ， 2 2 R L 2 R L 2L 1 C 33 2 8 3 1 4 2
13
将固有频率s1=-2和s2=-4代入式（8－5）得到
u C ( t) K 1 e 2 t K 2 e 4 t
u C (t) K 1 e s 1 t K 2 e s 2 t (8 5 )
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。
u C (0 ) K 1 K 2 (8 6 )
对式(9－5)求导，再令t=0得到 d u d C t(t)t 0 K 1 s 1 K 2 s2 iL C (0 ) (8 7 )
2.二阶电路的分析方法：
➢ 根据两类约束，列写二阶电路微分方程； ➢ 求特征方程的根，即固有频率； ➢ 根据根的性质确定解答形式（公式）。 ➢ 初始状态求解与一阶电路方法相同。
3
§8-1 LC电路中的正弦振荡
一、已知uC(0) = 1V，iL(0) = 0，L = 1H，C = 1F，求uC，iL。
联立求解以上两个方程，可以得到
(8 1)0
K1 uC(0)
K2
iL(0) C
ห้องสมุดไป่ตู้
s1uC(0)
将 K1, K2的计算结果，代入式（8－8）得到电容电压 的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电 感电流的零输入响应。
图8-3 RLC串联二阶电路
u R (t) u L (t) u C (t) u S (t)
i(t)iL(t)iC(t)Cddutc
uR(t)R(it)RC ddutc
di uL(t)Ldt
LC dd2tu2c
8
根据前述方程得到以下微分方程
Ld C d 2 tu 2 CRd d C u tCuCu S(t) (8 1 )
11
求解以上两个方程，可以得到
K
＝
1
s
1 －
2
s1
s
2
uC
(
0
)
iL (0) C
K
＝
2
1 s1－
s
2
s1
uC
(
0
)
iL (0) C
由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和 电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。
12
例8-1 电路如图8-4所示，已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输 入响应。
( t 0 )
利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值
iL(0)=1A得到以下两个方程：
uC(0)K1K22
duC(t) dt
t02K14K2iLC (0)4
K1=6 K2=-4
最后得到电容电压的零输入响应为
u C ( t) ( 6 e 2 t 4 e 4 t) V ( t 0 )
数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式
u C (t) K 1 e s tK 2 te st (8 8 )
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。 令式(8-5)中的t=0得到
uC (0 )K 1 (89 )
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对式(8－5)求导，再令得到
d u d C t(t)t 0K 1 sK 2iL C (0 )
第八章 二阶电路
§8-1 LC电路中的正弦振荡 §8-2 RLC电路的零输入响应 §8-3 RLC电路的全响应 §8-4 GLC并联电路的分析 §8-5 一般二阶电路
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整体概述
概述一
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概述二
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概述三
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2
引言
1.二阶电路：
➢ 变量用二阶微分方程描述的电路； ➢ 从结构上看，含有两个独立初始状态动态元件的电路。
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四、结论
纯LC电路，储能在电场和磁场之间往返转移，产生振 荡的电压和电流。振荡是等幅的，等副振荡是按正弦方式 随时间变化的。
想一想：若回路中含有电阻，还是等幅振荡吗？
7
§8－2 RLC串联电路的零输入响应
一、RLC串联电路的微分方程
为了得到图8-3所示RLC串
联电路的微分方程，先列出
KVL方程