1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形
ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中．
（1）四边形OECF 的面积如何变化．
（2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积．
解：在梯形ABCD 中由题设易得到：
△ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．
过点D 作DE ⊥BC ，则DE=1
2BD=23，BE=6
．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4．
故S 梯形ABCD =12+43．
2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由．
解：四边形AFCE 是菱形．
∵四边形ABCD 是平行四边形．
∴OA=OC ，CE ∥AF ．
∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ．
∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ．
而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形．
又∵EF 是垂直平分线，∴
AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形．
3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形．
19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DF
AC BED CFD B
C 是的中点
△BDE ≌△CDF ．
（2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知：
AEDF BED
CFE DE DF 四边形是矩形
矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？
解：四边形EBFD 是平行四边形．在
ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，
则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ．
∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片
折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．
【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3．
由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长．
【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ，
由折叠过程可知，OA ＝OC ，
∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称．
∴BE ＝FD ，EC ＝AF ，。