第十章：微分方程总结姓名：刘桥
学号：40905237
班级：工商49班
小组：第八小组
组长：刘洪材
一、 微分方程的基本概念 1. 微分方程及其阶的定义
微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 分类1：常微分方程（未知函数为一元函数的微分方程）
()()
,dy
axy a dx
dy p x y Q x dx
=+=为常数 偏微分方程（未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程）
()
22,2224
2
u u
f x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂
微分方程的阶.：微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数. 分类2：一阶微分方程
(,,)0,(,);F x y y y f x y ''==
高阶(n )微分方程
()(,,,,)0,n F x y y y '=
()(1)(,,,
,).n n y f x y y y -'=
分类3：线性与非线性微分方程.
()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+=
分类4：单个微分方程与微分方程组.
32,2,dy
y z dx
dz y z dx
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩ 2. 微风方程的解
微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
微分方程解的分类：通解（微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与
微分方程的阶数相同.）
,y y '=例;x y ce =通解
0,y y ''+=12sin cos ;y c x c x =+通解
特解（ 确定了通解中任意常数以后的解.）
初始条件：用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
积分曲线：微分方程的任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积分曲线
二、 一阶微分方程 1. 可分离变量的方程
可分离变量的微分方程：形如： ()()g y dy f x dx =的一阶微分方程. 例题回味：求方程()290y
dy
x dy ye ++
=的通解 分离变量得，21
9
y ye dy dx x =
+ 两边同时积分得， 2
1
9y ye dy dx x =-
+⎰⎰ 于是得到通解为，()11arctan 33
y x
y e c -=+
2. 齐次方程
如果一阶微分方程可化为()dy y
f dx x
=形如的方程，那么久称之为齐次方程. 解法：作变量代换,y
u x
=
,y xu =或 两边分求微分得， ,dy udx xdu =+ 代入原式得，(),du u x
f u dx +=().du x f u u dx
=-即 ()0,f u u -≠若则对上式分离变量得，
()du dx
f u u x
=-.
两边分别积分得，
()du dx
f u u x
=-⎰
⎰
求出积分后，将y
u x
=
代入，就求得了原微分方程的通解. 例题回味：求解微分方程(cos )cos 0.y y
x y dx x dy x x
-+=
解，y
u x =令，dy xdu udx =+则，
(c o s )c o s ()x u x u d x x u u d x
x d u -+
+=
cos ,dx
udu x
=-
sin ln ,u x C =-+ 微分方程的解为sin ln .y
x C x
=-+
3. 一阶线性微分方程
形如
()()dy
p x y q x dx
+=的方程称为一阶线性微分方程 ()0,Q x ≠当称方程式为非齐次线性微分方程 ()0,Q x =当称方程
()()dy
p x y q x dx
+=为齐次线性微分方程 解法：1. 线性齐次方程（分离变量法） 2. 线性非齐次方程
例题回味：1sin .x
y y x x '+=
求方程的通解 解1(),P x x = sin (),x
Q x x
=
11sin dx dx x x
x y e e dx C x -
⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭
⎰
l n l n
s i n x x x e e dx C x -⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭⎰
(
)
1
s i n x d x
C x
=
+⎰ ()1
cos .x C x
=-+ 4. 伯努利方程
形如
()()n dy
P x y Q x y dx
+=（n 为常数）的方程称为伯努利方程. 三、 高阶微分方程
1. n 阶线性微分方程解的结构
n 阶线性微分方程的一般形式：()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=
()0f x ≠当时，
称方程式为非齐次线性方程， ()0f x =当时，
称方程式为齐次线性方程。

定义：对于定义在区间（a,b ）上的函数组()()()12,,,k y x y x y x ⋅⋅⋅，如果存在不全
为0的常数12,,,k c c c ⋅⋅⋅，使得等式()()()11220k k c y x c y x c y x ++⋅⋅⋅+=在区间（a,b ）上恒成立，则称函数()()()12,,,k y x y x y x ⋅⋅⋅在区间（a,b ）上线性相关，否则，则称线性无关.
定理：①.如果函数()()()12,,,n y x y x y x ⋅⋅⋅都是其次线性方程式的解，则他们的线
性组合()()()()1122n n f x c y x c y x c y x =++⋅⋅⋅+也是齐次线性方程式的解，其中12,,,n c c c ⋅⋅⋅是n 个任意常数。

②. 如果()()()12,,,n y x y x y x ⋅⋅⋅是n 阶齐次线性方程式的两个线性无关的
特解, 则方程式的通解为()()()()1122c n n y x c y x c y x c y x =++⋅⋅⋅+.其中12,,,n c c c ⋅⋅⋅是n 个任意常数，而且方程式的任意解都可以表示成这个形式。

③. 设()y x 是n 阶非齐次线性方程
()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++
++=的一个特解, ()c y x 是对
应的齐次方程式()()()11220k k c y x c y x c y x ++⋅⋅⋅+=的通解, 则非齐次线性微分方程的通解为()()()c y x y x y x =+. ④. 设非齐次方程(2)的右端 是几个函数之和, 如
12()()()()y P x y Q x y f x f x '''++=+而与分别是方程，
1()()()y P x y Q x y f x '''++=，2()()()y P x y Q x y f x '''++=的特解, 那么
**
12
y y +就是原方程的特解. 2. 二阶常系数线性方程
n 阶常系数线性微分方程的标准形式：()(1)
1
1()n n n n y Py P y P
y f x --'++++= 二阶常系数齐次线性方程的标准形式：0y py qy '''++= 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式：()y py qy f x '''++=
特征根情况：(1)特征方程有两个不相等的实根(0)∆>
特征根为1r = 2r =
两个线性无关的特解11,r x y e = 22,r x y e =
得齐次方程的通解为1212;r x
r x
y C e C e =+ (2)特征方程有两个相等的实根(0)∆=
特征根为12,2
p
r r ==-
一特解为11,r x y e = 12(),r x y u x e =设另一特解为22
2y y y '''将，，代入原方程并化简， 2111(2)()0,u r p u r pr q u '''+++++= 0,u ''=知 (),u x x =取 12,r x y xe =则得齐次方程的通解为112();r x y C C x e =+ 3)特征方程有一对共轭复根(0)∆<
特征根为1,r i αβ=+ 2,r i αβ=- ()1,i x y e αβ+= ()2,i x y e αβ-=
重新组合1121()2y y y =+ cos ,x e x αβ= 2121
()2y y y i
=- sin ,x e x αβ=
得齐次方程的通解为12(cos sin ).x y e C x C x αββ=+
特征方程法步骤：(1) 写出所给方程的特征方程； (2) 求出特征根；
(3) 根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其
通解.
例题回味：250.y y y '''++=求方程的通解
特征方程为2250,r r ++= 解得1212,r i =-±，
其对应的两个线性无关的特解为y 1 = e-x cos2x ， y 2 = e-x sin2x 故所求通解为12(cos2sin 2).x y e C x C x -=+
四、 微分方程在经济中的应用（略）。