= +
⎰x = + ⎰x = + ⎰x 常微分方程的大致知识点
（一）初等积分法
1、线素场与等倾线
2、可分离变量方程
3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项）
y x
4、一阶线性非齐次方程
常数变易法，或 y = e ⎰
a ( x )dx [⎰
b (x )e -⎰ a ( x )dx dx + C ]
5、伯努力方程
令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n
dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次
dx 6、全微分方程
若∂M ∂y
若
∂M ∂y dx = ∂N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ∂x ≠ ∂N ，则找积分因子，（留意书上公式） ∂x
f (x
f ( y ,
（二）毕卡序列
x y 1 y 0 0
x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推
（三）常系数方程
1、常系数齐次L (D ) y = 0
方法：特征方程
7、可降阶的二阶微分方程
d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy
dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp
dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族
⎪ ⎪ dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x
1 2 1 2
单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x )
重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2
重的复根1, 2 = ± i ，3, 4
= ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ]
2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。

f (x )
第一步求L (D ) y = 0 的通解Y
第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y *
第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y *
如何求 y *
当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x
当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x )
cos vx + S m (x ) sin vx )
当 f (x ) 是一般形式时， y * = ⎰
x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W ()
（四）常系数方程组
方法：三部曲。

第一步求 dX dt
= A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。

利用特征方程 A - I
= 0 ，并分情况讨论。

第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )⎰Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )⎰Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环
⎧ dx = ax + b y dt ⎨ ⎪ = cx + dy 1、分析方程组⎩ dt
的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0
特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。

第一种情况：相异实根，1 ≠ 2
1 1 m m m
⎨ ⎪⎪ = ⎨ ⎪⎪ = ⎨ y = 讨论r s i n 当1 < 0,2 > 0 ，鞍点，图像 当1 < 0,2 < 0 ，稳定结点，图像 当1 > 0,2 > 0 ，不稳定结点，图像
第二种情况：相异复根，1 = + i ，2 = - i 当= 0 ，中心，图像
当< 0 ，稳定焦点，图像
当> 0 ，不稳定焦点，图像
第三种情况：相同实根，1 = 2 =
当b , c 同时为 0 时，如果> 0 ，不稳定临界结点，图像
如果< 0 ，稳定临界结点，图像
当b , c 不同时为 0 时，如果> 0 ，不稳定退化结点，图像
如果< 0 ，稳定退化结点，图像
⎧ dx = X (x , y ) 2、方程组⎪ dt dy Y (x , y ) ⎩
dt ⎧ dx = X (x , y ) 3、方程组⎪ dt dy Y (x , y ) ⎩ dt
的奇点的性质，Perron 定理
的极限环的性质，引入极坐标⎧x = r cos ⎩。