(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作 AC 的垂线，易知垂 足在 AC 上，故
MN＝
|01－＋5－＋12|2＝
3 ＝3 2
2
2.MN2＝(3
2
2)2＝92，故
z
【数的均点最可评小化】值为为(求192)可对. 行形域如内z＝的(x点－(xa，)2＋y)(与y－点b()a2，型b的)间目的标距函
2x－y－5≤0
z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值.
【分析】 由题目可获取以下主要信息：在约束条件下，
①求 z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2 的最小值.
解答本题可先将目标函数变形找到它的几何意义，再利 用解析几何知识求最值．
【解】 作出可行域，如图所示，求得A(1,3)， B(3,1)，C(7,9)．
.
题型一 求线性目标函数的最值—截距型
线性规划问题的基本解法是图解法，解好线性规划问 题的关键是画好平面区域，找到目标点．
2x＋y≤40 例1 若变量 x，y 满足xx≥＋02y≤50 ，
y≥0 求 z＝3x＋2y 的最大值．
【分析】 解答本题可先画出可行域，采用图解法，平 行移动直线求解．
【解】由题意，满足二元一次不等式 组的解的可行域如图所示．由 z＝3x ＋2y，得 y＝－32x＋2z.要求 z 的最大值， 可求2z 的最大值，即求斜率为－23的直 线在可行域内在 y 轴上截距的最大值． 如图，显然直线过 A 点时，y＝－32＋2z 在 y 轴上截距最大．
联立2x＋x＋2yy＝ ＝4500 ，得xy＝＝2100 ， ∴A(10,20)． ∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20＝70.
题型二 求非线性目标函数的最值—距离型
若目标函数不是线性函数，我们可先将目标函数变形找 到它的几何意义，再利用解析几何知识求最值．
例2
x－y＋2≥0 已知x＋y－4≥0 ，求：
【分析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 解答本题可先作出可行域，利用数形 结合求解． 【解析】 由约束条件作出可行域(如图)．
点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax＋z时 使直线在y轴上的截距最大， ∴－a＜kCD，即－a＜－1，∴a＞1. 【答案】 a＞1 【点评】 解答此类问题必须要注意边界直线斜率与 目标函数斜率的关系．
B.0a1C.1a4D.0a1或a4
3
3
1
2 2 ,
33
x
D
0
1
x y a 表 示 斜 率 为 - 1 的 动 直 线 的 左 下 方
.
检测：
3x－y－6≤0， 1. 设 x，y 满足约束条件x－y＋2≥0， 若目标函数 z
x≥0，y≥0，
＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为
25
12，则2a＋3b的最小值为
____6____．
解析 不等式表示的平面区域如图所示
阴影部分，当直线 ax＋by＝z(a>0，b>0)
过直线 x－y＋2＝0 与直线 3x－y－6＝0
的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，
b>0)取得最大值 12，即 4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6，而2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋6 3b＝163＋(ba＋ab)≥163＋2＝ 265，故2a＋3b的最小值为265. .
例5 (2010年北京-7)设不等式组
x y 11 0
3
x
y
3
0 表示的平面
5 x 3 y 9 0
区域为D，若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点，则a
的取值范围是
(A)(1，3] (B )[2，3] (C ) (1，2] (D )[ 3，+ ∞] 解：作出可行域如右图所示绿色
由xx＋＝y4－，6＝0， 得xy＝＝24.，
故 C(4,2)．∴kOC＝21.
由x4＋x－y－3y＋6＝120，＝0， 得xy＝＝36776
.
故 A(67，376)． ∴kOA＝6. 故xy的最大值为 6，最小值为12.
题型四 求目标函数中参数的取值范围
此类题目为线性规划的逆向思维问题．解答此类 问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行 域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法 求解． 例4 已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4， －2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在 点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_______．
离的平方的最值问题．
题型三 求非线性目标函数的最值—斜率型
例3
x＋y－6≥0， 已知实数 x，y 满足4x－3y＋12≥0，
x≤4.
求xy的最大值与最小值.
【解】
x＋y－6≥0， 作出不等式组4x－3y＋12≥0，
x≤4
平面区域，如图所示．
表示的
(1)令 z＝xy，则 y＝zx.故求xy的最大值与最小值就是求 不等式组所表示的平面区域内的点与原点连线的斜率的 最大值与最小值，由图易知，kOC 最小，kOA 最大．
区域． 0<a<1 时 ， x>0 时 ， 0<ax<1 ， y=ax
的图像上不存在区域D上的点． a>1时，当y=ax过A(2，9)时，a最
大为3.
a∈(1，3]. 选A． .
例6
xy0
(北京2007-6)若不等式组2xyy02表示的平面区域是一个三角形，则
xya
y
a的取值范围是（ ）
2
A.a34