圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系及计算
一、三者关系
设：
1122()01()01
x n n N x n n N ≤≤-≤≤-N ：圆周卷积的点数
⏹ 圆周卷积是周期卷积的主值序列。

周期卷积：1
120()()()N m y n x m x n m -==-∑ （1）
圆周卷积：1
120
()()()[()(())]()N c N N N m y n y n R n x m x n m R n -===-∑
1
210
[()(())]()N N N m x m x n m R n -==-∑ （2）
注意：（2）式直接使用的前提是圆周卷积的点数N 应满足：
12max[,]N N N ≥（一般题目均符合此种情况）
⏹ 周期卷积是线性卷积的周期延拓。

线性卷积：11
12120()()*()()()N l m y n x n x n x m x n m -===-∑
212
1
2
1
()()()*()N m x m x n m x n x n -==
-=∑ （4）
圆周卷积与线性卷积的关系：()[()]()c l N r y n y n rN R n ∞
=-∞
=+∑ （5）
注意：上述关系式对任意长度的圆周卷积均适合。

二、举例说明
1、对于12max[,]N N N ≥的情况，各教材例题很多，不再举例。

2、12N N N N <<或的情况。

习题8.已知序列()()2(1)(4)3(5)x n n n n n δδδδ=+-+-+-,
4()()y n R n =，求：
（1）()()*()z n x n y n =
（2）()()f n x n =○5()y n （5点圆周卷积）。

解：(){1,2,0,0,4,3},
(){1,1,1,1}x n y n ==
（1）()()(){1,3,3,3,3,4,4,4,3}z n x n y n =*=（过程略） （2）()()f n x n =○5()y n （5点圆周卷积），N =5。

*利用圆周卷积与线性卷积的关系计算*
()[()]()[...(5)()(5)...]()
N N r f n z n rN R n z n z n z n R n ∞
=-∞
=+=+-++++∑
所以：()()f n x n =○5()y n ={5,7,7,6,3}
这种方法计算过程比较简单，但前提是先计算出线性卷积的结果。

三、结论
⏹ 圆周卷积的计算始终要记住一点：圆周卷积虽然是针对有限长序列的卷积运算，但它是由周期卷积推导而来的，故隐含了周期性。

⏹ （2）式虽然是圆周卷积的定义式，但要正确理解，灵活应用。

它是在满足12max[,]N N N ≥的前提下由周期卷积推导而来的，其适用场合仅限于12max[,]N N N ≥的情况。

对于12N N N N <<或的情况，要从圆周卷积与周期卷积的关系出发，利用（3）式进行计算。