实验三 线性卷积与圆周卷积的计算
一、 实验目的
1、掌握计算机的使用方法和常用系统软件及应用软件的使用。

2、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力。

3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。

二、实验原理
1、线性卷积：
线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为：
∑∞
-∞
==-=
m n h n x m n h m x n y )
(*)()()()(
或
∑+∞
-∞
==-=
m n x n h m n x m h n y )
(*)()()()(
上式称为离散卷积或线性卷积。

图1.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。

)(n δ→ L. T. I —→)(n h —→ —→
图1.1 线性时不变系统的输入、输出关系
2、圆周卷积
设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，均为N 点长
)(1n x )(1k X
)(2n x )(2k X 如果
)
()()(213k X k X k X ⋅=
)(n x 0
L. T. I ∑+∞
-∞
=-=
m m n h m x n y )
()()(
D F T D F T
则)
()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=∑-=
[]
∑---=1
021)()(N m N m n x m x
)(1n x =N 10)(2-≤≤N n n x
上式称为圆周卷积。

注：)(~1n x 为)(1n x 序列的周期化序列；)()(~1n R n x N 为)(~1n x 的主值序列。

上机编程计算时，
)
(3n x 可表示如下：
∑∑-+==-++
-=1
1
2
1
213)
()()()()(N n m n
m m n N x
m x m n x m x n x
3、两个有限长序列的线性卷积
序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，)
(3n x 为这两个序列的线性卷积，
则
)
(3n x 为
∑+∞
-∞
=-=
m m n x
m x n x )
()()(2
1
3
且线性卷积
)
(3n x 的最大长1-+P L ，也就是说当1-≤n 和1-+≥P L n 时
)(3=n x 。

4、圆周卷积与线性卷积的关系
序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，若序列)(1n x 和)(2n x 进行N 点的圆周卷积，其结果是否等于该两序列的线性卷积，完全取决于圆周卷积的长度：
当1-+≥P L N 时圆周卷积等于线性卷积，即
)(1n x N )(*)()(212n x n x n x =
当1-+<P L N 时，圆周卷积等于两个序列的线性卷积加上相当于下式的时间混叠，即
⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+=∑+∞
-∞
=n
N n rN n x n x r N 其它010)
()(33
三、实验步骤
已知两个有限长序列
)4(5)3(4)2(3)1(2)()(-+-+-+-+=n n n n n n x δδδδδ )3(2)2()1(2)()(-+-+-+=n n n n N H δδδδ
1、实验前，预先笔算好这两个序列的线性卷积及下列几种情况的圆周卷积
)()1(n x ⑤)(n h )()2(n x ⑥)(n h )()3(n x ⑨)(n h )()4(n x ⑩)(n h
2、编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列)(n x 与
)(n h 的圆周卷积。

function yc=circonv(x1,x2,N) if length(x1)>N error; end
if length(x2)>N error; end
x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))]; x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))]; n=[0:1:N-1];
x2=x2(mod(-n,N)+1); H=zeros(N,N); for n=1:1:N
H(n,:)=cirshifted(x2,n-1,N); end
yc=x1*H';
function y=cirshiftd(x,m,N) if length(x)>N
error('x 的长度必须小于N'); end
x=[x,zeros(1,N-length(x))]; n=[0:1:N-1];
y=x(mod(n-m,N)+1);
• 函数（1）x(n)⑤y(n)
clear all ;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n)
hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,5);%用函数circonv计算N1点圆周卷积ny1=[0:1:length(yln)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);%画图
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');
•函数（2）x(n)⑥y(n)
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n)
hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,6);%用函数circonv计算N1点圆周卷积ny1=[0:1:length(yln)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');
•函数（3）x(n)⑨y(n)
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n)
hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,9);%用函数circonv计算N1点圆周卷积ny1=[0:1:length(yln)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');
•函数（4）x(n)⑩y(n)
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n)
hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,10);%用函数circonv计算N1点圆周卷积ny1=[0:1:length(yln)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');
3、上机调试并打印或记录实验结果。

4、将实验结果与预先笔算的结果比较，验证其正确性。

五、实验报告
1、列出计算两种卷积的公式，列出实验程序清单（包括必要的程序说明）。

2、记录调试运行情况及所遇问题的解决方法。

3、给出实验结果，并对结果作出分析。

验证圆周卷积两者之间的关系。