自我挑战1
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶
10次，每次命中的环数分别是(单位：环)：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差； (3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．
1 解： x 甲＝ ×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10 (1) 10 ＋4＋7)＝7， 1 x 乙＝ ×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5) 10 ＝7. 1 2 2 2 (2)由方差公式 s ＝ n [(x1 － x ) ＋(x2 － x ) 2 2 2 ＋…＋(xn－ x ) ]，得 s甲＝3.0，s乙＝1.2.
(3) x 甲＝ x 乙，说明甲、乙两战士的平均水 平相当； 2 又∵s2 >s乙，说明甲战士射击情况波动大． 甲 因此乙战士比甲战士射击情况稳定．
统计量与统计图表的综合运用
统计图表是数据展示的一种方式，而统计量是
要用到数据的准确值，从而可知统计量很可能
与折线统计图、茎叶图相结合命题考查
例3
甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，
【点评】
统计图与统计量是从两个方面去
分析样本，从而估计总体，是统计学的基础 内容，要结合使用． 自我挑战2 某市对上、下班时的交通情况
做抽样调查，在上、下班时间各抽上班 30 33 18 27 32 40 26 28 21 28 35 20 时间 下班 27 19 32 29 36 29 30 22 25 16 17 30 时间 用茎叶图表示上面的样本数据，并求出样本数 据的中位数、平均数及众数．
【点评】 (1)平均数与方差是重要的数字特 征数，是对总体的一种简明的描述，它们反 映的情况有着重要的实际意义，从而要掌握 其计算公式，为正确分析其含义打下基础． (2)当两组数据的平均数相同或相近时，用方 差或标准差比较它们的波动大小，样本方差 或标准差越大，样本数据的波动越大，稳定 性越差，反之，样本数据波动就越小，稳定 性越好．
(3)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组 数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少 数据多次重复出现时 ，众数往往更能反映问 题． (4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据 的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在 所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组 数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描 述其集中趋势．
2,4,6,8,7,7,8,9,9,10. 将它们由小到大重排为： 2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.
1 x 甲＝ (5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7， 10 1 x 乙＝ (2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7， 10 1 2 s 甲 ＝ [(5－7)2 ＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－ 10 1 2 2 7) ×2＋(9－7) ]＝ (4＋2＋0＋2＋4)＝1.2， 10
(2)①因为平均数相同，且 s2 <s2 ，所以甲的成 甲 乙 绩比乙稳定． ②因为平均数相同， 甲的中位数<乙的中位数， 所以乙的成绩比甲好些． ③因为平均数相同， 命中 9 环及 9 环以上的次 数甲比乙少，所以乙的成绩比甲好些． ④甲成绩在平均数上下波动， 而乙的成绩处于 上升势头， 从第四次以后就没有比甲少的情况 发生，所以乙较有潜力．
§4
数据的数字特征
学习目标
1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它
们各自的特点．
2．重视数据的计算，体会统计思想．
知新益能
统计量
位于中间 位于中间两个数的 平均数 出现次数最多
最大值
最小值
问题探究 1．如何理解众数、平均数、中位数的异同？ (1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据 集中趋势的量，平均数是最重要的量． (2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有 关系，任何一个数据的变动都会相应引起平 均数的变动．
方差、标准差的计算与应用
标准差是样本数据到平均数的一种平均距 离 ， 一 般 用 s 表 示 ， 用 1 2 2 2 s＝ [x1－ x ＋x2－ x ＋…＋xn－ x ]来计 n 算标准差．标准差是用来衡量一组数据的波动大 小的重要的量，标准差越小，表明各个样本数据 在样本平均数的周围越集中；反之，标准差越大， 表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散．
(3)实际应用 方差与原始数据单位不同，平方后可能夸大了偏 差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数 据的离散程度上是一样的，但实际解决问题时一 般采用标准差． 3．方差和标准差都是用来描述一组数据波动情 况的特征数，方差和标准差的大小与数据的波动 有何关系？ 方差(标准差)越大，波动越大，稳定性越差； 方差(标准差)越小，波动越小，稳定性越好．
解：根据题意绘出该市上、下班交通情况的 茎叶图，如图所示：
28＋28 由图可知，上班时间的中位数为 ＝ 2 28(km/h)； 27＋29 下班时间的中位数为 ＝28(km/h)． 2 上班时间的众数为 28 km/h； 下班时间的众数为 29 km/h 和 30 km/h. 上班时间的平均数为
2．如何理解方差与标准差的意义和应用？ (1)引入方差、标准差刻画数据的原因 单从众数、中位数、平均数、最大值、最小值、 极差来分析数据，各个数据的波动情形无法更 好更全面的体现． (2)方差、标准差的意义 方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动 的大小，体现了样本数据到平均数的一种平均 距离．
每次射靶的成绩情况如图所示．
(1)请填写下表：
平均 中位 方差 数 数 甲 乙 命中9环及9环以 上次数
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行 分析： ①从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩稳定； ②从平均数和中位数相结合看，分析谁的成绩好 些； ③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看， 分析谁的成绩好些； ④从折线图上两人射击命中环数的走势看，分析 谁更有潜力．
8＋1＋6＋7＋8＋8＋2＋3＋5＋10＋20×6＋30×4＋40 12 ≈28.2(km/h)； 下班时间的平均数为 6＋7＋9＋2＋5＋7＋9＋9＋2＋6＋10×3＋20×5＋30×4 12 ＝26(km/h)．
方法感悟
1．平均数、众数、中位数描述一组数据的集中 趋势，方差、标准差描述一组数据的波动大小， 即离散程度． 2．方差的单位是原数据单位的平方，标准差的 单位与原数据单位一致． 3．设 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，方差为 s2， 标准差为 s，则 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的 平均数为 a x ＋b，方差为 a2s2，标准差为|a|s.
1 s 乙 ＝ [(2 － 7)2 ＋ (4 － 7)2 ＋ (6 － 7)2 ＋ (7 － 10 7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－ 1 2 7) ]＝ (25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4. 10
2
根据以上的分析与计算填表如下：
平均 中位 方差 数 数 7 1.2 7 甲 7 5.4 7.5 乙 命中9环及9环以 上次数 1 3
【思路点拨】根据折线统计图得到甲、乙两人各 射靶10次的有关数据，按照题意对数据进行适当 处理，并选择恰当的平均数及方差公式计算出相 应的结果，最后根据结果对问题作出回答． 【解】 (1)观察折线图可得甲射击10次中靶环数分别为： 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 将它们由小到大重排为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9. 乙射击10次中靶环数分别为：