数学奥林匹克初中训练题(032)
第一试
一、选择题(每小题7分,共42分)
1．满足不等式|x－1|+|x－9|
的整数x的个数为( )．
A．8 B．9 C．10 D．11
2．如图，由钝角△ABC的顶点A作高AD，以垂足D为圆心，AD为半径作圆，分别交AB、AC于M、N，如果AB=c，AM=m，AN=n，那么，AC边的长是( )．
A．m+n B．nc
m C．mc
n
D．(+
n m
m n
)
3．已知一次函数y=ax+b(a为整数)的图象过点(98，19)，它与x轴的交点为(p，0)，与y轴的交点为(0，q)，若p是质数，q是正整数，那么满足条件的所有一次函数的个数为()．
A．0 B．1 C．2 D．大于2的整数4．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，并且AB=2CD，M、N分别是对角线AC，BD 的中点，设梯形ABCD的周长为l1，四边形CDMN的周长为l2，则l1与l2满足( )．A．l1=2l2B．l1=3l2C．l2＜l1＜2l2D．2l2＜l1＜3l2
5．设S则与S最接近的整数是
( )
A．1997 B．1998 C．1999 D．2000
6．设n是正整数，0＜x≤1，在△ABC中，如果AB=n+x，BC=n+2x，CA=n+3x，BC 边上的高AD=n，那么，这样的三角形共有()
A．10个B．11个C．12个D．无穷多个
二、填空题(每小题7分,共28分) .
1．已知a 、b 为正整数，且满足
224=49
a b a ab b +++.则a +b 的值等于___________． 2．如图，设ABCDE 是正五边形.直线MN 分别交边EA 、AB 于M 、N .如果AM +AN =AB ，
那么，∠MAN +∠MBN +∠MCN +∠MDN +MEN =________．
3．若n 是正整数，且n 2+9n +98恰好等于相邻的两个正整数的积，则n 的所有值是
_______．
4．已知9(1)
979(2)98x y m x y n x y m an x y bm cn +⎧=⎪+⎪⎨++⎪=⎪++⎩
如果满足(1)式的一切实数x 、y 、m 、n ，也满足(2)式，那么，a +b +c 的值等于_______．
第二试
一、(20分) 如图，在凸四边形ABCD中，AC=BD=AB，且AC⊥BD，垂足为E．设
CD．
I为△AEB的内心，M为AB的中点．求证：MI丄CD，且MI=1
2
二、(25分) 已知关于x的方程x2+ax+6=0有两个不相等的实根．求证：方程x4+ax3 +(b－2)x2－ax+1=0有四个互不相同的实数根．
三、(25分) 六盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须以完全一样的面对接，最后得到的包装形状是一个长方形．已知磁带盒的长、宽、高尺寸分别是a=11cm，b=7cm，c=2cm．
(1)请你给出一种能使表面积最小的打包方式，使其表面积最小，并画出其示意图；
(2)若不给出a、b、c的具体尺寸，只假定a≥b≥c，问能否按照已知的打包方式，使其表面积最小？并说明理由．。