数学奥林匹克初中训练题
第 一 试
一. 选择题.(每小题7分,共42分)
1.下列四个式子中与(a -( )
(B) (D)2.由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是( )
(A)1 (B)2 (C)π (D)4
3.若2221122
x y y x y y +-=-+-,则x 等于( ) (A)221y y +- (B)222y y +- (C)221y y ++ (D)222y y ++
4.周长为有理数的等腰三角形,其底边上的高是底边的12
,则腰与底边上的高( ) (A)都是有理数 (B)都不是有理数
(C)腰是有理数,底边上的高不是有理数 (D)腰不是有理数,底边上的高是有理数
5.如图1,在ΔABC 中,AB=AC,∠ABC=40O ,BD 是∠ABC
的平分线,延长BD 至E,使DE=AD,则∠ECA 的度
数为( )
(A)30O (B)35O (C)40O (D)45O
6.在平面上具有整数坐标的点称为整点.若一线段
的端点分别为(2,11),(11,14),则在此线段上(包括端点)的整点共有( )
(A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个
二. 填空题.(每小题7分,共28分)
7.设21(0,)12x a a a x x =≠≠++且,则2
421
x x x ++的值为 .
8.半径为R 的⊙O 中,弦AB=R,弦.若AB ∥CD,则AB
与CD 的距离为 .
9.若实数,x y 满足2226x y x +=,则22
2x y x ++的最大值
为 .
10.如图2,A,B,C,D 四点在同一圆周上,且BC=CD=4,AE=6,线段
BE 与DE 的长都是正整数,则BD 的长等于 .
第 二 试
三. 解答题.
11.(20分)关于x 的方程2(8)2(4)(2)0m x m x m ----+=至少有一个负根,求m 的取值范围.
12.(25分)如图3,已知点D 是ΔABC 的边AC 上的一点,AD:DC=2:1,∠C=45O ,∠ADB=60O .
求证:AB 是ΔBCD 的外接圆的切线.
13.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++的图象与,x y 都只有一个交点,分别为
P,Q,PQ=20b ac +=, 一次函数y x m =+的图象过P 点,并和二次函数的图象交于另一点R.求ΔPQR 的面积.。