a ,x 2=a 222数学上册知识点总结21.1 一元二次方程知识点一 一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程。
知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式： ax + bx + c = 0(a ≠ 0). 其中， ax 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1）） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如 x =a(a ≥ 0) 的方程，根据平方根的定义可解得 x 1= .（2）） 直接开平方法适用于解形如 x 2=p 或(mx+a)2=p(m ≠ 0) 形式的方程， 如果 p ≥0，就可以利用直接开平方法。
（3） ） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4） ） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平 方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数；22222⑶ 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷ 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
21.2.2 公式法知识点一 公式法解一元二次方程2 2（1）） 一般地，对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a ≠ 0) ，如果 b -4ac ≥ 0 ，那么方程的两个根为2bb4ac x=2a，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
（2）） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠ 0) 的过程。
（3）） 公式法解一元二次方程的具体步骤：① 方程化为一般形式： ax +bx+c=0(a ≠0) ，一般 a 化为正值②确定公式中 a,b,c 的值，注意符号；22 2③求出 b -4ac 的值； ④若 b -4ac ≥0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，若 b -4ac＜ 0，则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式2 2 2式子 b -4ac 叫做方程 ax +bx+c=0(a ≠ 0) 根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△ =b -4ac.△＞ 0，方程 ax +bx+c=0(a ≠ 0) 有两个不相等的实数根一元二次方程 △=0，方程 ax +bx+c=0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根根的判别式△＜ 0，方程 ax +bx+c=0(a ≠0) 无实数根21.2 ．3 因式分解法知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1）） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积， 进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
（2））因式分解法的详细步骤：2222 ① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0；② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； ③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程方法名称理论依据 适用范围直接开平方法 平方根的意义形如 x =p 或（mx+n ） =p(p ≥0)配方法 完全平方公式 所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法 当 ab=0，则 a=0 或b=0一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程 x +px+q=0的两个根为 x 1,x 2, 则有 x 1+x 2=-p,x 1x 2=q.若一元二次方程 a x+bx+c=0(a ≠ 0) 有两个实数根 x ,x , 则有 x +x =， b,x x = c1222.3 实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：121 2aa（1） ） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
（2） ） 设：是指设元，也就是设出未知数。
（3）） 列：就是列方程，这是关键步骤 , 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。
（4） ） 解：就是解方程，求出未知数的值。
（5） ） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。
（6）） 答：写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）） 数字问题22三个连续整数：若设中间的一个数为 x ，则另两个数分别为 x-1 ， x+1。
三个连续偶数（奇数） ：若中间的一个数为 x ，则另两个数分别为 x-2,x+2 。
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c ，则这个三位数是 100a+10b+c.（2）） 增长率问题设初始量为 a ，终止量为 b ，平均增长率或平均降低率为 x ，则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a （1 x ） =b 。
（3） ）利润问题利润问题常用的相等关系式有：①总利润 =总销售价 - 总成本；②总利润 =单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4） ）图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来， 建立一元二次方程。
二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分 基础知识1. 定义：一般地，如果 y ax2bx c( a, b, c 是常数， a 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数 .2. 二次函数 y ax 2的性质（1））抛物线yax 2的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴.（2））函数yax 2的图像与 a 的符号关系 .①当 a ②当 a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； 0时抛物线开口向下顶点为其最高点 .（3））顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ax 2（a 0）.3. 二次函数 y ax2bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线 .4. 二次函数 y ax 2bx c 用配方法可化成： y a x h2k 的形式，其中 hb ， k 2a4ac b 2.4a5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y ax 2；② yax2k ；③ y a x h ；④2y a x hk ；⑤ yax 2bx c .6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.2① a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0 时，开口向上；当 a 0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 .②平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x h . 特别地， y 轴记作直线 x 0.7. 顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 . 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1） 公式法： y ax2bx c 2a x b2a4ac b 24a，∴顶点是（b 4ac ， 2a 4ab ），对称轴是直线xb.2a（2） 配方法：运用配方的方法， 将抛物线的解析式化为 y a x h2k 的形式，得到顶点为 ( h , k ) ，对称轴是直线 x h .（3） 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9. 抛物线 y ax2bx c 中， a,b, c 的作用（1） a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax 2中的 a 完全一样 .（2） b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 . 由于抛物线 y ax 2bx c 的对称轴是直线b x，故：① b 2a b 0 时，对称轴为 y 轴；②a0 （即 a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧； ③b 0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧.a（3） c 的大小决定抛物线 y ax2bx c 与 y 轴交点的位置 .当 x 0时， y c ，∴抛物线 yax 2bx c 与 y 轴有且只有一个交点（ 0， c ）：① c 0 ，抛物线经过原点 ; ② c 0 , 与 y 轴交于正半轴；③ c 0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 . 如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则b 0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y ax 2y ax2kx 0 （ y 轴）（ 0,0 ） x 0 （ y 轴）(0, k )y a x h2y a x h2k当 a 0 时x h开口向上 x h( h ,0)( h , k )y ax2bx c当 a 0时 b x(b 4ac b 开口向下2a， ) 2a 4 a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1） 一般式： y ax2bx c . 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式 .（2） 顶点式： y a x h2k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 .（3） 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1 、 x 2 ，通常选用交点式： y a x x 1 x x 2 .12. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线 y ax 2bx c 得交点为 (0, c ).（2） 与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax 2bx c 有且只有一个交点 ( h , ah 2bh c ).（3） 抛物线与 x 轴的交点二次函数 yax 2bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x 1 、 x 2 ，是对应一元二次方程ax 2bx c 0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与 x 轴相交；②有一个交点（顶点在 x 轴上） 0抛物线与 x 轴相切；③没有交点抛物线与 x 轴相离.（4） 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点. 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2bx ck 的两个实数根 .（5） 一次函数 y kx n k 0 的图像 l 与二次函数 y2axbx c a0 的图像 G 的交点，由方程y kx 组n 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 l 与G 有两个交点 ; ②y axbx c2方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点；③方程组无解时l 与G 没有交点 .（6） 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y ax2bx c 与x 轴两交点为 A x 1，0 ， B x 2，0 ，由于 x 1 、 x 2 是方程 ax2bx c 0 的两个根，故x 1xAB第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。